【C++心路历程35】【bzoj1632】[Usaco2007 Feb]Lilypad Pond

最新推荐文章于 2022-06-06 13:49:00 发布

ctf109

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分类专栏： USACO

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【问题描述】

　　FJ建造了一个美丽的池塘，用于让奶牛们锻炼。这个长方形的池子被分割成了 M 行和 N 列(正方形格子的。某些格子上有莲花，还有一些岩石，其余的只是美丽，纯净，湛蓝的水。
　　贝茜正在练习芭蕾舞，她从一个莲花跳跃到另一个莲花，当前位于一个莲花。她希望在莲花上一个一个的跳，目标是另一个给定莲花。她不能跳入水中，也不能跳到岩石上。贝茜的每次的跳跃像国际象棋中的骑士一样：横向移动1，纵向移动2，或纵向移动1，横向移动2。所以贝茜有时可能会有多达8个选择的跳跃。
　　FJ在观察贝茜的芭蕾舞，他意识到有时候贝茜有可能跳不到她想去的目的地，因为路上有些地方没有莲花。于是他想要添加几个莲花使贝茜能够完成任务。一贯节俭的FJ想添加最少数量的莲花。当然，莲花不能放在石头上。
　　请帮助FJ确定必须要添加的莲花的最少数量。在添加的莲花最少基础上，算出贝茜从起始点跳到目标点需要的最少的步数。最后，还要算出满足添加的莲花的最少数量时，跳跃最少步数的跳跃路径的条数。

【输入格式】

　　第1行: 两个整数M,N。
　　第2..M+1 行:第i+1行，第i+1行有N个整数，表示该位置的状态: 0为水; 1为莲花; 2为岩石; 3为贝茜开始的位置; 4为贝茜要去的目标位置.

【输出格式】

　　第1行: 一个整数: 需要添加的最少的莲花数. 如果无论如何贝茜也无法跳到，输出-1。
　　第2行: 一个整数:在添加的莲花最少基础上，贝茜从起始点跳到目标点需要的最少的步数。如果第1行输出-1，这行不输出。
　　第3行: 一个整数: 添加的莲花的最少数量时，跳跃步数为第2行输出的值的跳跃路径的条数如果第1行输出-1，这行不输出。

【输入样例】

4 8
0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 2 0 1
0 0 0 0 0 4 0 0
3 0 0 0 0 0 1 0

【输出样例】

2
6
2

【样例解释】

至少要添加2朵莲花，放在了’x’的位置。
0 0 0 1 0 0 0 0　　　 0 0 0 1 0 0 0 0
0 x 0 0 0 2 0 1 　　　0 0 0 0 0 2 0 1
0 0 0 0 x 4 0 0 　　　0 0 x 0 x 4 0 0
3 0 0 0 0 0 1 0 　　　3 0 0 0 0 0 1 0
贝茜至少要跳6步，有以下两种方案
0 0 0 C 0 0 0 0　　　 0 0 0 C 0 0 0 0
0 B 0 0 0 2 0 F 　　　0 0 0 0 0 2 0 F
0 0 0 0 D G 0 0 　　　0 0 B 0 D G 0 0
A 0 0 0 0 0 E 0 　　　A 0 0 0 0 0 E 0

【数据范围】

1 ≤ M ≤ 30
1 ≤ N ≤ 30

【分析】
怎么说最重要的都应该是转化。
（1）小问比较舒服的做法是将修建荷叶的代价设为1，则在原图上跑SPFA即可。
dist数组表示种植荷花的数目（费用）
SPFA部分代码

        int w=0;
            if(a[xx][yy]==0) w=1;//没有荷叶
            if(dist[t.x][t.y]+w<dist[xx][yy])
            {
                dist[xx][yy]=w+dist[t.x][t.y];
                if(inq[xx][yy]) continue;
                tt.x=xx,tt.y=yy;
                q.push(tt);inq[xx][yy]=1;
            }

（2）小问仍然利用（1）小问中SPFA的松弛操作过程，可以记录最小步数。
答案为cc[终点横][终点纵]。

if(dist[t.x][t.y]+w<dist[xx][yy])
        {
            dist[xx][yy]=w+dist[t.x][t.y];
            cc[xx][yy]=cc[t.x][t.y]+1;//cc数组表示从起点到（x,y）的最小步数
            if(inq[xx][yy]) continue;
            tt.x=xx,tt.y=yy;
            q.push(tt);inq[xx][yy]=1;
        }

也可以记录fa数组，找最短路整条路径：

struct data{
    int x;int y;
    friend bool operator<(data a,data b)
    {
        if(a.x!=b.x) return a.x<b.x;
        return a.y<b.y;
    }
};
map<data,data>fa;
int w=0;
            if(a[xx][yy]==0) w=1;
            if(dist[t.x][t.y]+w<dist[xx][yy])
            {
                dist[xx][yy]=w+dist[t.x][t.y];
                fa[(data){xx,yy}]=(data){t.x,t.y};
                if(inq[xx][yy]) continue;
                tt.x=xx,tt.y=yy;
                q.push(tt);inq[xx][yy]=1;
            }
int x=ex,y=ey,ans2=0;
    while((x!=sx)||(y!=sy))
    {
        ans2++;
        int xx=fa[(data){x,y}].x;
        int yy=fa[(data){x,y}].y;
        x=xx;y=yy;
    }
    printf("%d\n",ans2);

（3）小问亦可利用（2）小问中cc数组进行dp。
（为了方便我从终点开始dp，起点亦可）
设f(x,y)表示从起点到(x,y)的满足（1）（2）问条件的最短路径方案数，
则有f(x,y)=sum（f(xx,yy)），其中x,y 与xx,yy能相通
满足的条件为：1、cc[x][y]-1==cc[xx][yy]
2、若(x,y)是荷花 dist[x][y]==dist[xx][yy]
若(x,y)是水 dist[x][y]-1==dist[xx][yy]

LL f(int x,int y)
{

    if(d[x][y]!=-1) return d[x][y];
    if(x==sx&&y==sy) return d[x][y]=1;
    LL sum=0;
    for(int k=0;k<8;k++)
    {
        int xx=x+dx[k],yy=y+dy[k];
        if(xx<=0||yy<=0||xx>n||yy>m) continue;
        if(a[xx][yy]==2) continue;

        if(a[x][y]==0)
        {
            if(dist[xx][yy]==dist[x][y]-1) 
            if(cc[x][y]-1==cc[xx][yy])
            sum+=f(xx,yy);
        } 
        else if(a[x][y]==1||a[x][y]==4)//是荷花
        {
            if(
            dist[x][y]==dist[xx][yy] 
            ) 
            if(cc[x][y]-1==cc[xx][yy])
            sum+=f(xx,yy);
        }
    }
    return d[x][y]=sum;
}