3348 可构造的序列总数

dp数组含义：

dp[i][j]长度为i末尾元素为j的数组

状态转移方程

初始化

//本题的难点仍在于dp数组含义的设计 和 状态转移方程的列写

//对于序列中的每个元素ai，其值只与前一个元素有关，与前面其他元素无关
//且前一个元素与后一个元素成倍数关系，且不超过K

//故令dp[i][j]表示序列长度为i，且以j结尾的合法序列的数量
//设j的因子列表为ki，则dp[i][j]需要不断累加所有的dp[i-1][ki]
//如当前j=8，其因子有1,2,4,8
//则dp[i][8]=dp[i-1][1]+dp[i-1][2]+dp[i-1][4]+dp[i-1][8]
//若想当长度为i的时候末尾是8，则长度为i-1的时候末尾只能是1，2，4，8
//即长为i，以8结尾的序列数量等于长为i-1，以1,2,4,8结尾的序列的数量之和
//可以理解为对于长为i-1的序列，只有末尾为1,2,4,8时，再添加一个元素才有可能是8

//此外还要注意两个问题：
//一是初始化，当长度为1时不论选择1~K中的何值，都只有一种方案，故dp[1][1]~dp[1][K]均初始化为1 
//二是在求j的因子时，为了提高效率只遍历到根号j，需要注意ki恰好为j的平方根时，不能重复累加 
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

const ll mod=1e9+7;

ll dp[2005][2005];//dp[i][j]表示序列长度为i，且以j结尾的合法序列的数量 

int main()
{
    int N,K;
    ll ans=0;
    cin>>K>>N;
    for(int i=1;i<=K;i++)dp[1][i]=1;//只有1个数，无论是选择1~K中哪个数，都只有1种方案 
    
    for(int i=2;i<=N;i++)//从2~N遍历每一种序列长度 
    { 
        for(int j=1;j<=K;j++)//遍历当前序列中最后一个元素的每一种可能的取值j 
        {
            for(int k=1;k*k<=j;k++)//遍历每一个可能是j的因子的数 
            //1  2  3  4  |  6  
            //36 18 12 9  |  6
            {
                if(k*k==j)//若k恰好是j的平方根，j/k==k，避免重复累加dp[i-1][k]，与下文相区分 
                {
                    //长为i且以j结尾的序列个数 累加上 长为i-1且以k结尾的序列个数 
                    dp[i][j]=(dp[i][j]+dp[i-1][k])%mod;
                } 
                else if(j%k==0)//否则如果k是j的因子且不是平方根，一次累加一对因子，效率更高 
                {
                    //长为i且以j结尾的序列个数 累加上 长为i-1且以j/k结尾的序列个数和长为i-1且以k结尾的序列个数 
                    dp[i][j]=(dp[i][j]+dp[i-1][k]+dp[i-1][j/k])%mod;
                } 
            }    
        } 
    }    
    
    for(int i=1;i<=K;i++)//累加所有长度为N的以1~K结尾的序列数量 
    {
        ans=(ans+dp[N][i])%mod;
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}