对于卷积运算的理解

关于卷积的理解

一、连续域

1.冲击函数的介绍

• 冲击函数是狄拉克为了解决一些瞬间作用的物理现象而提出的一个概念。冲量这一物理现象很能说明“冲击函数”。在t时间内对一物体作用F的力，倘若作用时间t很小，作用力F很大，但让Ft的乘积（这个极短时间的积分不变）不变，即冲量不变。在数学中即使它无限瘦、无限高、但它仍然保持面积不变，这个主要是为了阐述 “时间无限小,一瞬间的”这个概念,但是这个时间无限小的时间并不是冲击函数本身，冲激函数的值是，时间无限小情况下这个Ft面积即这个积分的值是多少。即冲击函数是时间无限小，值为这个无限小时间内Ft的面积即无限小时间内积分值的这样一个函数。单位冲击函数指的是这个无限小时间内的积分值为 “1”的冲激函数，也叫狄拉克函数,记为:$$delt(t)=delt,(t=0);$$ $$delt(t)=0,(t!=0)$$

2.系统函数（零状态冲击响应）的介绍

• 单位冲激响应 :系统在单位冲激函数激励下引起的零状态响应，称为该系统的单位冲击响应，一般用 h(t)表示。，h(t)包含了系统的所有信息（我个人习惯称他为系统函数），它与系统的传递函数互为傅里叶变换关系。例如我们对一个RC单路进行一瞬间的充电操作，加入这个一瞬间施加的电压与极短时间的积分是“1”，即系统激励是一个单位冲击函数，那么这个系统中电容两端的电压随时间的变化为下图，那么这个电压U随时间变化的规律就是单位冲击响应h(t)
  

3.线性时不变系统的介绍

• 依然以上面的RC电路为例，先介绍时不变性。加入我在早上0点的时候对RC系统加了单位冲击函数delt(t)，得到的系统函数为h(t),我tao时刻做了同样的操作delt(t-tao)，得到的系统函数是h(t-tao),即不论我在什么时间对系统激励单位冲激函数，得到的系统函数都是一样的（时间起点不一样而已,对由应与数学就是函数图像相对于参考时间统一向后（右）移动了tao时刻），记为:$$delt(t)-->h(t),delt(t-tao)-->h(t-tao)$$我们称这样的系统是时不变的，简单说就是系统的内部情况不随时间的变化而变化。在介绍线性性，线性性分为齐次性和叠加性：
  齐次性表示为:$$如果一个函数输入为x得到f(x),那么如果输入为4x,如果输出是4f(x),那么这个函数就满足齐次性。$$
  叠加性表示为:$$如果一个函数输入为x得到的是f(x),那么如果输入为x+y,那么输出为f(x)+f(y),这个函数就满足叠加性。$$
  总结线性性就是: $$ax+by得到af(x)+bf(y)$$
  刚才例子为单位冲击函数作为激励，积分的值为“1”，假如现在的冲激函数不是单位冲击函数，而是0.4delt，也就是积分值为“0.4”，那么假如系统得到的响应为0.4h(t),那么系统就符合叠加性；假如在同一个“一瞬间极短时间内”有两个冲击函数同时激励系统，一个是0.4delt,另一个是0.9delt那么得到的响应为0.4h(t) + 0.9h(t) = 1.3h(t),这就是系统符合线性性。

4.信号与系统中输入与输出关系的介绍

在连续时间系统中，任一个信号可以分解为具有不同时延的冲激信号的叠加。这就是说一个信号X(t),(0<t<T)可以将它分解为时间区间[0，T]上的无限个具有不同时延的冲击信号的叠加，X(t)在不同时刻的值（函数幅度）就是对应时延时刻冲击信号的值（就是该冲击信号的积分值）。
自然界中我们遇到的信号基本上都是连续时间信号，因此，对于一个系统来说他的激励，基本上都是连续时间信号，基本上没有冲击信号，因此，我们要用冲击信号的理论来研究当一个系统的激励是连续时间信号X(t),已知系统函数为h(t)时，他的响应是什么。其实他的响应就是X(t)卷积h(t)。X(t)卷积h(t)的含义分为两部分，第一就是将X(t)变成无数个冲击函数的和的形式，即不同时延上的delt(t)函数乘以X(t)在当前位置上的幅度大小（权）（X(t)与dele(t)的时延参考点都选0时刻,即0时刻才开始有输入激励，开始有输入激励的时间定义为0时刻），然后将无数个加权了的冲击函数时域相加，就得到了用冲击函数表示X(t)的形式了，例如tao时刻连续信号的值为X(tao)，那么对应的冲击函数就应该是delt(t-tao),即：$$delt(t-tao)=delt,(t=tao);$$ $$delt(t-tao)=0,(t!=tao)$$相乘之后就是另一个冲激函数：$$X(tao)\times delt(t-tao)$$即一个常数乘以一个单位冲击函数得到的冲激函数，用这个结果来表示X(t)的tao时刻，那么这个冲击函数 的系统响应是什么呢，根据系统线性时不变性，可知由这个冲击函数得到的响应就是：$$X(tao)\times h(t-tao)（相当于前面的0.4delt的响应是0.4h(t)）$$这是一个非常重要的事情，即X(t)被表示成无数个加权冲击函数的和之后，在tao时刻的冲击函数的系统响应是：$$X(tao)\times h(t-tao)$$那么这样的话tao1时刻tao2时刻的冲击响应就是：$$X(tao1)\times h(t-tao2)$$由于：$$X(t)={\int }_0^{T}X(tao)delt(t-tao)dtao.（1-1）$$（相当于X(t)是无数个加权冲激函数的时域和），那么根据系统的线性性质，可以知道X(t)的系统响应应该等于每一个加权冲激函数的响应的和，即X(tao)×h(t-tao)的和，即X(t)的响应Y(t)为：$$Y(t)={\int }_0^{T}X(tao)h(t-tao)dtao.（1-2）$$这就是连续时间信号X(t)作为激励得到的系统响应，这个表达式也是X(t)与h(t)卷积的表达式，即：
$$X(t)\ast h(t)={\int }_0^{T}X(tao)h(t-tao)dtao（其中X(t)的持续时间为片[0，T])$$即普通的连续时间信号X(t)经过系统函数为h(t)的系统后得到的响应为X(t)与h(t)的卷积结果。

上述将连续时间信号作为激励得到响应的推导过程可以分为以下三个步骤：
1.根据单位冲击函数得到系统函数h(t)。
2.根据单位冲激函数狄拉克函数的性质，将连续时间信号X(t)表示为无数个加权冲击函数的和，这个加权就是利用了单位冲击函数积分值的物理意义与X(t)的幅值相乘形成的，将单位冲击函数变成了一般的冲击函数。这一点其实就是表达式（1-1）要说明的。
3.将上述无数个冲激函数一个一个带入系统求得各自的系统响应，根据系统的线性时不变性，利用各个冲激函数是相加关系得到最后的系统响应是各个分散系统响应的和，得到连续时间信号的系统响应
即表达式 （1-2）。
因此只有线性时不变系统才能做卷积。

5.广义的卷积运算

广义的卷积运算是两个连续的时间信号做单纯的卷积运算，比如：$$X1(t)\ast X2(t)$$求结果，这样的话我们可以理解为X2(t)是某个系统的系统函数，X1(t)是连续时间激励输入，那么这两个函数的卷积就是：$$X1(t)\ast X2(t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }X1(tao)X2(t-tao)dtao$$理解方式与式（1-2）相同

二、离散域

类比连续域即可

连续域的冲击函数是从冲量引入的，让时间极端小，但是又能对函数对物理量积分，积分的值就是冲击函数的值，单位冲击函数的值为“1”，
但是在离散域，单位冲击函数（离散域叫做单位脉冲函数）是一个幅度为“1”的函数，离散域没有积分的概念，只有累加的概念，因此离散域中，物理量的幅度值就是冲激函数的值（没有挤压压缩时间无限小的概念）离散域单位冲击函数表示为：$$delt(n)=1,(n=0);$$ $$delt(n)=0,(n!=0)$$
同理当物理量的幅度不是1的话根据线性性就有了一般的离散冲激函数比如：$$0.8delt(n)=0.8,(n=0);$$ $$delt(n)=0,(n!=0)$$同理，离散系统的系统函数也是离散单位冲激函数作为激励得到的离散单位冲击响应（离散域叫做单位脉冲响应）h(n),这样的话根据连续域的三条法则可知：

• 离散系统的系统函数就是单位脉冲函数作为激励得到的单位脉冲响应h(n)。
• 任何离散时间信号都可以看成是由离散时间脉冲组成的，即：（离散域用的是累加）$$X(n)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }X(k)delt(n-k)$$这里的X(k)就相当于权系数，delt(n-k)相当于单位脉冲函数delt(n)向右移动k个单位长度，这就表示离散时间信号X(n),表示为了无数个加权之后的单位脉冲函数经过各自延时k之后的和，这里的k相当于连续域的tao。
• 将上述每个对应k时延加权之后的脉冲函数经过系统得到的响应为：$$X(k)h(n-k)$$那么由于这么多输入信号是相加关系，根据线性时不变特性，得到X(n)的系统响应为：$$Y(n)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }X(k)h(n-k)$$这就是离散域的三法则，与连续域相对应。

三、一些类比故事

卷积的物理意义：
在生活当中有很多现象都体现了卷积的含义，比如古人钻木取火就是一个很形象的例子。当我们用一根木头与另一根木头接触并钻一下，由于摩擦产生热，在两根木头接触的地方就会发热，但是很明显，就只钻一下，木头是不可能燃起来的，而且随着时间变长，那一点由摩擦产生的热量会一点一点消失掉。妙果我们加快钻的频率，也就是在之前所钻出来的热量还没有消失掉的时候再多钻几下，把之前所有的残余的热量叠加起来，时间越短，残余的热量就会越多，这样热量就会在发热的地方积累得很多，木头的温度也就会越来越高，最后达到着火点而燃烧起来。对于这个例子，其中有几个关键的地方，第一，每一次钻出来的热量消失的速度快慢是由环境客观条件比如温度，和木头的导热系数所决定的。第二，我们认定木头是一个线性系统，也就是对于几任意两次钻的过程互不影响，只存在叠加关系。而且对于每一次不同程度的钻所产生的热量是与钻的程度成正比的。
我们可以把这个问题抽象为一个数学模型：
钻的过程为输入x(t), 系统的衰减函数为h(t),木头被钻的地方积累的热量为y(t)。在某个时间点u，钻所产生的输入为x(u)，此时的衰减系数为h(t-u)[为什么是t-u呢？衰减函数接受的参数是经历的衰减时间，从u到t还要经历t-u这么长时间的衰减，所以就要用t-u了]，对x(u)h(t-u)du做个积分就得到y(t) 了。
也就是卷积表达了系统对于输入的累计效应。