2019_GDUT_专题训练数论 C---A/B

最新推荐文章于 2021-03-20 09:49:39 发布

csdn_xieql

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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/csdn_xieql/article/details/104865106

版权

C—A/B

原题链接：https://vjudge.net/problem/HDU-1576/origin

题目大意：

在这里插入图片描述

题目分析：

模运算中，有
加的：(a+b)%c == a%c + b%c
减的：(a-b)%c == a%c - b%c
乘的：(a*b)%c == a%c * b%c
就是没有除的：(a/b)%c == (a%c)/(b%c) … …(错误！错误！错误！)
但定义了逆元：当a*b ≡ 1(mod p)，那么b就称为a的逆元，a称为b的逆元
求逆元
如果要求b在模质数c下的逆元，则
假设b的逆元为inv(b)，则由定义得：b*inv(b) ≡ 1(mod c)
再由费马小定理：当p为质数，a不是p的倍数时，有a^p-1 ≡ 1(mod p)
可得：b*inv(b) == b^c-1，则inv(b) == b^c-2，结合快速幂可以算出

回到题目，由于B*inv(B) ≡ 1(mod 9973)，可得inv(B) == B^9973-2
则 A/B ≡ A/B * (B*inv(B)) ≡ A * inv(B) ≡ A*B^9973-2 (mod 9973) == (A mod 9973) * (B^9973-2 mod 9973) == n * (B^9973-2 mod 9973)

代码实现：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
using namespace std;

typedef long long LL;

LL pow_quick(LL a, LL b, LL m)	//快速幂
{
    LL ans = 1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans = ans*a%m;
        a = a*a%m;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    int t;
    const LL C = 9973;
    LL n, b;
    cin >> t;
    while(t--)
    {
        cin >> n >> b;
        cout << n*pow_quick(b,C-2,C)%C << endl;
    }

    return 0;
}