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MDS的思路就是保持新空间与原空间的相对位置关系，先用原空间的距离矩阵D，求得新空间的内积矩阵B，再由内积矩阵B求得新空间的表示方法Z。
西瓜书上的推导比较简洁，自己详细的推了一遍。
假设Z矩阵是新空间的表示，mxd'维，z1，z2到zm表示一个行向量，即每一个样本。
定义新空间的内积矩阵B，B矩阵的bij元素，即是z的第i行与第j行的内积。
为了使新空间与原空间保持相对位置关系，新空间两个样本的距离要等于（或者约等于）原空间的距离。
为了便于讨论，这里使Z被中心化，即Z所有元素相加=0。
下面开始推导
，对于里面的bij项，对i从1到m求和，j不动：
同理：
对于bii项，对的i
python进行多维缩放（MDS）
然后，我们将这些距离作为输入，并尝试在低维空间中找到一组点的坐标，使得这些点之间的距离尽量接近原始数据点之间的距离。需要注意的是，在进行MDS时，距离矩阵是一个关键的输入，因为MDS的目标是在低维空间中重构原始数据之间的距离关系。因此，无论是否进行标准化或归一化处理，计算距离矩阵的方法都应该是一致的，以确保MDS的结果正确和可靠。多维缩放（Multidimensional Scaling，简称MDS）是一种用于数据降维的技术，可以将高维数据映射到低维空间中，同时尽量保持原始数据点之间的距离关系。
多尺度变换（Multidimensional Scaling ，MDS）详解
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多维缩放MDS算法详解：从距离矩阵到低维坐标的降维实战
降维算法是机器学习和数据科学中的核心技术，旨在将高维数据映射到低维空间以便于分析和可视化。其基本原理是通过保留数据的关键结构信息，如方差或距离关系，来减少特征维度。技术价值在于提升计算效率、缓解维度灾难并揭示潜在模式。常见应用场景包括用户行为分析、文本挖掘和生物信息学。在多维缩放（MDS）中，算法直接以距离矩阵为输入，优化低维空间的距离保真度，从而恢复样本间的相对位置关系。与PCA和t-SNE不同，MDS特别适合处理非特征矩阵数据，如感知映射和网络分析，确保全局距离关系的准确性。
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降维可视化旨在将高维数据映射到低维空间，同时保留关键结构信息。其核心原理是通过优化应力函数，使低维坐标中的欧氏距离尽可能逼近原始距离矩阵。这一技术价值在于，即使没有原始特征向量，仅凭距离矩阵也能揭示数据的潜在结构，例如在心理学中构建感知地图，或对品牌偏好进行可视化分析。在应用场景上，MDS广泛用于市场调研、生物信息学聚类和文本相似度探索。当数据仅提供距离关系时，MDS成为连接距离矩阵与坐标可视化的桥梁，帮助直观理解复杂数据中的相似性与分组模式。
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