每天刷两道题——第四天

最新推荐文章于 2025-03-08 23:03:59 发布

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分类专栏：每日刷题挑战文章标签： python

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本文介绍了如何使用动态规划算法解决最大子数组和问题，并扩展到求解任意子数组和的绝对值最大问题。通过定义子问题、状态转移方程和初始化过程，展示了如何计算给定数组中特定类型的子数组和的最大值。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

1.1最大子数组和

给一个整数数组 nums ，找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。
输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出：6
解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。

动态规划

动态规划也称为动态优化，把复杂问题分解为子问题，通过求解子问题,组合子问题的解从而得到整个问题的解。参考文章

动态规划适用于:
1.一个复杂问题的最优解由数个小问题的最优解构成，可以通过寻找子问题的最优解来得到复杂问题的最优解，这个特性又称为最优子结构（optimal substructure）；例如：最短路径
2.子问题在复杂问题内重复出现，使得子问题的解可以被存储起来重复利用，这个特性又称为重叠子问题（overlapping subproblem）。例如：斐波拉契数列。

动态规划的无后效性

为了保证计算子问题能够按照顺序、不重复地进行，动态规划要求已经求解的子问题不受后续阶段的影响。这个条件也被叫做「无后效性」。换言之，动态规划对状态空间的遍历构成一张有向无环图，遍历就是该有向无环图的一个拓扑序。有向无环图中的节点对应问题中的「状态」，图中的边则对应状态之间的「转移」，转移的选取就是动态规划中的「决策」。

动态规划题解的步骤:状态定义、状态转移方程、初始化、输出、是否可以空间优化。

1.定义子问题：

子问题 1：以 −2 结尾的连续子数组的最大和是多少；
子问题 2：以 1 结尾的连续子数组的最大和是多少；
子问题 3：以 −3 结尾的连续子数组的最大和是多少；
子问题 4：以 4结尾的连续子数组的最大和是多少；
子问题 5：以 −1 结尾的连续子数组的最大和是多少；
子问题 6：以 2 结尾的连续子数组的最大和是多少；
子问题 7：以 1结尾的连续子数组的最大和是多少；
子问题 8：以 −5结尾的连续子数组的最大和是多少；
子问题 9：以 4 结尾的连续子数组的最大和是多少。

2.定义状态

$d p [i]$ ：表示以 $n u m s [i]$ 结尾的连续子数组的最大和。

3.状态转移方程（子问题之间的联系）

以 $n u m s [i]$ 结尾的连续子数组与以 $n u m s [i - 1]$ 结尾的连续子数组只相差一个元素 $n u m s [i]$ 。

假设数组 $n u m s$ 的值全都严格大于 0，那么一定有 $d p [i] = d p [i - 1] + n u m s [i]$ 。

可是 $d p [i - 1]$ 有可能是负数，于是分类讨论：
如果 $d p [i - 1] > 0$ ，那么可以把 $n u m s [i]$ 直接接在 $d p [i - 1]$ 表示的那个数组的后面，得到和更大的连续子数组；
如果 $d p [i - 1] <= 0$ ，那么 $n u m s [i]$ 加上前面的数 $d p [i - 1]$ 以后值不会变大。于是 $d p [i]$ 「另起炉灶」，此时单独的一个 $n u m s [i]$ 的值，就是 $d p [i]$ 。

以上两种情况的最大值就是 $d p [i]$ 的值，写出如下状态转移方程：
$\begin{cases} dp[i-1]+nums[i] &\text{if } dp[i-1]>0\\ nums[i] &\text{if } dp[i-1]<=0 \end{cases}$

4.初始化

$d p [0]$ 根据定义，只有 1 个数，一定以 $n u m s [0]$ 结尾，因此 $d p [0] = n u m s [0]$ 。

5.输出

这个问题的输出是把所有的 $d p [0] 、 d p [1] 、 \dots\dots 、 d p [n - 1]$ 都看一遍，取最大值。

6.是否可以优化空间

一般的问题只要时间复杂度最优就可以。
空间复杂度 $o n l in e j u d g e$ 并不在意，只要使用的空间不太离谱，不要一上来就 $int[] dp = new int[Integer.MAX_VALUE]$ 就好。

7.代码

class question1:
	    def maxSubArray(self,nums):
        size=len(nums)
        pre=0  #初始状态
        res=nums[0]  #存储每个状态中的最大值
        for i in range(size):
            pre=max(nums[i],pre+nums[i]) #计算以nums[i]结尾的最大值
            res=max(res,pre)
        return res
q = question1()
print(q.maxSubArray([-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]))

1.2任意子数组和的绝对值的最大值

$数组[n_1,n_2,n_3,...,n_{r-1},n_r]的和的绝对值为abs(n_1+n_2+n_3+...+n_{r-1}+n_r)$

其中abs（）为取绝对值，定义如下：
1.如果 x 是负整数，那么 $ab s (x) = - x$ 。
2.如果 x 是非负整数，那么 $ab s (x) = x$ 。

请你找出 nums 中 和的绝对值 最大的任意子数组（可能为空），并返回该最大值。子数组是数组中的一个连续非空序列。

输入：nums = [2,-5,1,-4,3,-2]
输出：8
解释：子数组 [-5,1,-4] 和的绝对值最大，为 abs(-5+1-4) = abs(-8) = 8 。

nums 中 和的绝对值 最大的任意子数组可能是这个数组的子数组最大和的绝对值，也可能是这个数组的子数组最小和的绝对值，按照1.1的动态规划思路，求取数组的子数组最大和和子数组最小和。

class question1:
    def maxAbsoluteSum(self,nums):
        preMax,preMin=0,0
        resMax,resMin=nums[0],nums[0]

        for i in range(len(nums)):
            preMax=max(nums[i],nums[i]+preMax)
            resMax=max(resMax,preMax)

            preMin = min(nums[i], nums[i] + preMin)
            resMin = min(preMin, resMin)

        return max(abs(resMax),abs(-resMin))

q = question1()
print(q.maxAbsoluteSum([2,-5,1,-4,3,-2]))