对偶转化和非线性规划

最新推荐文章于 2022-12-20 23:06:58 发布

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文章标签：学习

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本文探讨了对偶转化在非线性规划中的应用，通过具体实例演示了如何将对称形式和非对称形式的规划问题转换，并介绍了凸函数的概念及其在无约束优化中的角色。通过求解非线性规划问题minZ和其对偶规划maxW，展示了局部最优解的判断准则。

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对偶理论

对偶转化和非线性规划
- 对称形式
- 非对称形式
非线性规划
- 凸函数
- 无约束问题的最优解

对偶转化和非线性规划

对称形式

$推导公式如下：$
$maxZ=C^Tx 转化为\implies minW=Y^Tb$
$st:\begin{cases} Ax\le b\\ x\ge0 \end{cases}转化为\implies st:\begin{cases} A^Ty\le b\\ y\ge0 \end{cases}$

例子1：写出下列问题的对偶规划
$\color{maroon}max Z=\color{red}{5}\color{black}x_1+\color{red}{6}\color{black}x_2$
$st:\begin{cases} \color{lime}3\color{black}x_1-\color{purple}2\color{black}x_2\le\color{#00ff00}{7} \\ \color{lime}4\color{black}x_1+\color{purple}1\color{black}x_2\le\color{#00ff00}{9}\\ x_1,x_2\color{olive}\ge0 \end{cases}$
$对偶规划为：\color{maroon}min W=\color{#00ff00}{7}\color{black}{y_1}+\color{#00ff00}{9}\color{black}{y_2}$
$st:\begin{cases} \color{lime}3\color{black}y_1+\color{lime}4\color{black}y_2\ge\color{red}{5} \\ \color{purple}-2\color{black}y_1+\color{purple}1\color{black}y_2\ge\color{red}{6}\\ y_1,y_2\color{olive}\ge0 \end{cases}$