对偶问题具体如何转换【草稿】

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#机器学习 #算法的数学支撑 #svm #线性规划

本文详细介绍了线性规划问题与对偶问题之间的转换，包括如何将原问题的目标函数和约束条件转换成对偶问题的形式。通过具体的例子展示了转换过程，并强调了在处理不等式时的符号变化规则。

每一个线性规划问题都存在一个与其对偶的问题，两者的解一致。因此当原问题不好解就会转为求其对偶问题。
这种转换可以单纯依靠符号逻辑来做，建议参考
https://tv.sohu.com/v/cGwvNjU1NTg1NC82NTQ0NDY1MS5zaHRtbA==.html
https://wenku.baidu.com/view/fc5ac232a88271fe910ef12d2af90242a895abfa.html
https://blog.youkuaiyun.com/nciaebupt/article/details/8252056
简单来说，对于其中一种形式，有原问题如下：
min ⁡ x A T X \min_{x} \quad A^TX xmin​ATX s . t .   B X &lt; = C \qquad \qquad s.t. \ BX&lt;=C s.t. BX<=C &ThinSpace;&ThinSpace; X &gt; = 0 \qquad \qquad \,\, X&gt;=0 X>=0

其对偶问题为：
max ⁡ y C T Y \max_{y} \quad C^TY ymax​CTY s . t .   B T Y &gt; = C \qquad \qquad s.t. \ B^TY&gt;=C s.t. BTY>=C &ThinSpace;&ThinSpace; Y &gt; = 0 \qquad \qquad \,\, Y&gt;=0 Y>=0

来讲讲具体转换方法。在下面的例子中我们需要将下列问题转为其对偶问题：

m a x       W = 10 y 1 +     8 y 2 + 6 y 3 max \ \ \ \ \ W = 10y_1+\ \ \ 8y_2+6y_3 max     W=10y1​+   8y2​+6y3​         ( 目 标 函 数 ) \qquad \qquad \ \ \ \ \ \ \ (目标函数)        (目标函数)

s . t . {     1 y 1 +     2 y 2 + 0 y 3 &gt; =     3     1 y 1 +     0 y 2 + 1 y 3 &lt; =     2 − 3 y 1 +     2 y 2 + 1 y 3 &lt; = − 4     1 y 1 + − 1 y 2 + 1 y 3     =     1 \qquad \quad s.t.\begin{cases} \ \ \ 1y_1 +\ \ \ 2y_2+0y_3&gt;=\ \ \ 3 \\ \ \ \ 1y_1+\ \ \ 0y_2+1y_3&lt;=\ \ \ 2\\ -3y_1+\ \ \ 2y_2+1y_3 &lt;=-4\\ \ \ \ 1y_1+-1y_2+1y_3 \ \ \ = \ \ \ 1 \end{cases} s.t.⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​   1y1​+   2y2​+0y3​>=   3   1y1​+   0y2​+1y3​<=   2−3y1​+   2y2​+1y3​<=−4   1y1​+−1y2​+1y3​   =   1​ ( 约 束 方 程 ) \qquad (约束方程) (约束方程)

s . t . {     y 1 ≥ 0 , y 2 ≤ 0 , y 3 无 约 束 \qquad \quad s.t.\begin{cases} \ \ \ y_1\geq 0, y_2\leq 0, y_3无约束 \\ \end{cases} s.t.{    y1​≥0

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