深度前馈网络（四）

全连接MLP中的反向传播计算

我们考虑一个与全连接多层感知机相关联的特定图，下面第一个算法首先给出了前向传播，它将参数映射到与单个训练样本$(x,y)$（输入，目标）相关联的监督损失函数$L(\hat{y},y)$，其中，戴帽的$y$是神经网络在得到输入$x$后的实际输出。下面第二个算法说明了将反向传播应用于该图所需要的相关计算。

首先讨论第一个算法，即典型深度神经网络中的前向传播和代价函数的计算。为了获得总代价$J$，损失函数$L(\hat{y},y)$可以加上正则项$\Omega (\theta )$，其中，$\theta$包含所有的权重和偏执组成的参数。为了简单起见，该算法仅仅演示使用单个输入样本$x$，实际上应该是小批量的输入。另外，假设网络深度是$l$，则模型的权重矩阵是：W(i),i∈{ 1,⋯ ,l}W^{(i)}, i \in \left \{ 1, \cdots , l \right \}W(i),i∈{ 1,⋯,l}，模型的偏执参数是：b(i),i∈{ 1,⋯ ,l}b^{(i)}, i \in \left \{ 1, \cdots , l \right \}b(i),i∈{ 1,⋯,l}，那么，该算法如下：

1. 利用输入进行初始化：$h^{(0)}=x$。
2. 遍历网络深度$k=1,\cdots ,l$进行下面的计算：
   $a^{(k)}=b^{(k)}+W^{(k)}{h}^{k-1}$
   $h^{(k)}=f(a^{(k)})$
3. 得到神经网络的输出：$\hat{y}=h^{(l)}$。
4. 最后获得总代价：$J=L(\hat{y},y)+\lambda \Omega (\theta )$

接着讨论第二个算法，该算法说明了如何计算$J$关于参数$W$和$b$的梯度，这是上一个算法的反向计算。它不止使用了输入$x$和目标$y$，该计算对每一层$k$都产生了对激活函数$a^{(k)}$的梯度，从输出层开始，一直向后计算，直到一个隐藏层。这些梯度可以看作对每层的输出应该如何调整从而减小误差的指导，根据这些梯度可以获得对每层参数的梯度。权重和偏置上的梯度可以立即用于随机梯度更新的一部分（梯度算出来后即可执行更新），或者可以与其它基于梯度的优化算法一起使用。算法如下：

1. 在前向计算完成后，首先计算顶层的梯度：$g⟵{\nabla }^{}$