深度前馈网络（三）

反向传播和其他微分算法

输入$x$提供初始信息，然后传播到每一层的隐藏单元，最终产生输入$\hat{y}$，这称之为前向传播。在训练过程中，前向传播可以持续向前，直到它产生一个标量代价函数$J(\theta )$。而反向传播算法则允许来自代价函数的信息通过网络向后流动，以便计算梯度（减少数值化求解梯度的计算代价）。实际上，反向传播仅仅是指用于计算梯度的方法，而不是用于多层神经网络的整个学习算法（这种算法叫随机梯度下降，是使用梯度来进行学习）。在学习算法中，我们最常见的是代价函数关于参数的梯度，即${\nabla }_{\theta }J(\theta )$。其实，它也可以计算任意函数的梯度${\nabla }_{x}f(x,y)$，其中$x$是待求导数的变量，而$y$是函数的另外一组输入而已。

计算图：
为了精确描述反向传播算法，需要使用更为精确的计算图语言。这里，我们使用图中的每一个节点来表示一个变量（标量、向量、矩阵、张量）。我们引入操作概念，是指一个或者多个变量的简单函数，可以通过将多个操作复合在一起来描述更为复杂的函数，操作的返回或者输出可以是标量，甚至向量。计算图中的边是有向的。

微积分中的链式法则：
用于计算复合函数的导数。标量的链式法则很直观，我们可以将其扩展到多维空间。假设$x\in {\mathbb{R}}^m$，$y\in {\mathbb{R}}^n$，$z\in \mathbb{R}$，$y=g(x)$，$z=f(y)$，那么：
$$\frac{\partial z}{\partial x_i}=\sum _j\frac{\partial z}{\partial y_j}\frac{\partial y_j}{\partial x_i}$$使用向量记法，等价表示为：
∇xz=(∂y∂x)T∇yz \nabla _x z = (\frac{\partial y}{\partial x} )^T \nabla _y z ∇x​z=(∂x∂y​)