欧拉函数+埃拉托斯特尼筛法+欧几里得算法

https://www.cnblogs.com/PJQOOO/p/3875545.html大佬欧拉函数讲解博客

例题https://cn.vjudge.net/problem/Gym-101778C

欧几里得算法：

欧几里得算法求gcd与lcm

辗转相除求gcd

由唯一分解定律得到gcd(a,b)*lcm(a,b)=a*b;因此lcm(a,b)=a/gcd(a,b)*b;//这样不会溢出;

埃氏筛法

具体参见紫书p311

欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。 

     欧拉函数的性质：它在整数n上的值等于对n进行素因子分解后，所有的素数幂上的欧拉函数之积。

     欧拉函数的值 　通式：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。φ(1)=1（唯一和1互质的数(小于等     于1)就是1本身）。 (注意：每种质因数只一个。比如12=2*2*3那么φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4）

    推论：当n为奇数时，有φ(2n)=φ(n)。

    若n是质数p的k次幂，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。

    设n为正整数，以 φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值，这里函数φ：N→N，n→φ(n)称为欧拉函数。

    欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。

    特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n), 证明与上述类似。

   算法实现与分析：

   求解欧拉函数的值可用φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn)，容易知道要对n进行素因子分解。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e6+6;
const int maxx=1e6;
ll t,m,k=0,ans=0,sushu[N],ss[N];
int gcd(int a,int b)//欧几里得算法 
{
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
void prim(int n)//埃拉托斯特尼筛法素数打表 nlognlongn 
{
    int m=sqrt((double)n+0.5);
    //cout<<m;
    memset(sushu,0,sizeof(sushu));
    memset(ss,0,sizeof(ss));
    for(int i=2;i<=m;i++)
        if(sushu[i]==0)
        for(int j=i*i;j<=n;j+=i)
        {
        sushu[j]=1;
        //cout<<j<<" ";
        }
    int z=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    if(sushu[i]==0)
    ss[++z]=i;
    //for(int i=1;i<=10;i++)
    //    cout<<ss[i]<<" ";
}
/*int oula(int n)//欧拉函数直接 n 
{
    int rea=n;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            rea=rea-rea/i;
            do
            n/=i;
            while(n%i==0);
        }
    }
    return rea;
 } 
int oula(int n)//欧拉函数优化 根号n 
{
    int rea=n;
    for(int i=2;i*i<=n;i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            rea=rea-rea/i;
            do
            n/=i;
            while(n%i==0);
        }
    }
    if(n>1)
    rea=rae-rea/n;
    return rea;
 } */
int oula(int n)//筛法求欧拉函数 根号x 
{
    int rea=n;
    for(int i=2;ss[i]*ss[i]<=n;i++)
    {
        //cout<<ss[i]<<" ";
        if(n%ss[i]==0)
        {
            rea=rea-rea/ss[i];
            do
            n/=ss[i];
            while(n%ss[i]==0);
        }
    }
    if(n>1)
    rea=rea-rea/n;//由于一个合数最多有一个大于根号n的素因子 
    return rea;
}
int main()
{
    prim(maxx);
    //cout<<" asdaswdf"<<endl;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        cin>>m;
        cout<<oula(m)*(m-1)<<endl;
    }
    return 0;
}