POJ 1061 青蛙的约会扩展欧几里得算法的应用及介绍（好题）

最新推荐文章于 2022-04-14 00:39:57 发布

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本文介绍了一个有趣的编程问题——两只青蛙如何在线上相遇。通过扩展欧几里得算法，文章详细阐述了如何找到青蛙们相遇所需的跳跃次数，以及实现这一算法的具体步骤。

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青蛙的约会

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Description

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

Source

浙江

扩展欧几里得算法通常解决三种问题：

1：求解不定方程；

2：求解模的逆元；

3：求解同余方程；

设a和b不全为0，则存在整数x和y，使得：

gcd(a,b)=x*a+y*b;

对于一个二元一次方程Ax+By=C（A,B已知）,可以用扩展欧几里得算法求的其中的一个解x（或者y），不过所求的解并不是最小的，也不是最大的，只不过是方程的一个。下面给出两种扩展欧几里得的具体代码。

第一种是迭代的扩展欧几里得算法:

int exgcd(int A,int &x,int B,int &y)
{
    int x1,y1,x0,y0;
    x0=1;y0=0;
    x1=0;y1=1;
    int r=(A%B+B)%B;
    int q=(A-r)/B;
    x=0;y=1;
    while(r)
    {
        x=x0-q*x1;
        y=y0-q*y1;
        x0=x1;
        y0=y1;
        x1=x;y1=y;
        A=B;B=r;r=A%B;
        q=(A-r)/B;
    }
    return B;
}

第二种是递归的欧几里得算法：

	long long extended_euclidean(long long n, long long m, long long &x, long long &y) {
		if (m == 0) {
			x = 1; y = 0; return n;
		}
		long long g = extended_euclidean(m, n % m, x, y);
		long long t = x - n / m * y;
		x = y;
		y = t;
		return g;
	}

其中，传过来x和y是新定义的两个变量，无初值也没有赋初值，返回的B就是Ax+By=C这个方程的一个解。

那么对于这个题来说第一只青蛙的坐标是x+m*t，第二只青蛙的坐标是y+n*t。它们相遇的充要条件是：x+m*t-y-n*t=p*L(p属于Z)，即

(n-m)*t+L*p=x-y。L>0.设A=n-m,B=x-y,就转化为求A*t+L*p=B的最小t（t>0）。即求一次同余方程A*t=B%L的最小整数解。

1：用欧几里得算法求解A*t+L*p=B。即exgcd(A,&x,L,&y)则得到的值X是一个解，但不是最后的解。

2：若B%gcd(A,L)==0，则有解。

3：设M=gcd(A,L),X=X*(x-y)/M,然后(X%(L/M)+L/M)%(L/M)就是最后的解，也就是最小的t。

#include<stdio.h>
long long x,y,m,n,l;

//扩展欧几里得算法
long long exgcd(long long m,long long &x,long long n,long long &y)
{
    long long x1,y1,x0,y0;
    x0=1;y0=0;
    x1=0;y1=1;
    long long r=(m%n+n)%n;
    long long q=(m-r)/n;
    x=0;y=1;
    while(r)
    {
        x=x0-q*x1;
        y=y0-q*y1;
        x0=x1;
        y0=y1;
        x1=x;y1=y;
        m=n;n=r;r=m%n;
        q=(m-r)/n;
    }
    return n;
}

int main()
{
    while(scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&l)!=EOF)
    {
        long long ar,br;
        long long a=exgcd(n-m,ar,l,br);//a为二元一次线性方程的一个解，但不是最小解
        //printf("%lld\n",a);
        if((x-y)%a||m==n)
            printf("Impossible\n");
        else//找出方程的最小解t
        {
            long long s=l/a;
            ar=ar*((x-y)/a);
            ar=(ar%s+s)%s;
            printf("%lld\n",ar);
        }
    }
    return 0;
}