cdq分治（以cdq分治代替树状数组为例）

最新推荐文章于 2025-11-17 17:00:00 发布

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本文介绍了CDQ分治算法的基本概念及其应用，并通过HDU1166问题详细阐述了CDQ分治的具体实现过程。文章重点讲解了如何将操作离线处理，以及通过分治思想简化数据结构的方法。

cdq分治是一种特殊的分治，在有些时候可以代替复杂的数据结构来解决一些问题。

今天刚学了cdq分治，在这里以HDU1166为例（本来是树状数组或者线段树的模板题），来说一下我对cdq的理解。

首先说一下cdq分治的优点，就是比好写（相对于某些数据结构），可以维护一些dp（暂时还不会）

缺点是，要求题目的询问可以转化为离线处理。

下面是一般cdq分治的大致步骤：

1，将所有的操作（询问操作或者查询操作）先按照一个标准排序从左到右依次为[L , R](下面这道题按默认的时间顺序，所以不需要做任何操作）

2，将区间[L, R]分为两部分分别是区间[L, mid],[mid + 1, R],其中mid = (L + R) / 2;

3，先递归处理这两个区间。

4，枚举区间[L,mid]中的修作操作会对区间[mid + 1,R]中查询操作造成的影响。

以HDU为例，因为[L, mid]里面的修改操作先与[mid + 1, R]（操作按时间先后默认排序），所以[L, mid]里面的修改操作会影响到[mid + 1, R]里面的查询的操作，然而[mid + 1,R]里面的修改操作不会影响到[L, mid]里面的查询操作，然后,只有当[L, mid]里面的修改操作的修改位置小于[mid + 1, R]里面的查询操作的位置时，才会对这个查询操作造成影响（因为我们是维护的一个前缀和），然后对这个影响进行处理就行。说的比较抽象，下面是HDU1166的代码（这个c++代码不能ac的，要改成c代码能ac，，，）、

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 50000 + 10;
const int maxq = 40000 + 10;
int n, q;
int qnum, anum;
int ans[maxn];//保存结果数组
struct query{
    int loc;//操作点的位置
    int value;
    int type;//操作类型, 1为修改操作，2， 3，为询问操作
    bool operator < (const query &q) const{
        if(loc == q.loc) return type < q.type;
        return loc < q.loc;
    }
}Query[maxq<<1];
query term[maxq<<1];
void cdq(int L, int R)
{
    if(L == R) return;
    int mid = (L + R)>>1;
    cdq(L, mid);
    cdq(mid + 1, R);
    int sum = 0;
    int ll = L, rr = mid + 1;
    int res = 0;
    while(ll <= mid && rr <= R)
    {
        if(Query[ll] < Query[rr])
        {
            if(Query[ll].type == 1) sum += Query[ll].value;
            term[++res] = Query[ll++];
        }
        else
        {
            if(Query[rr].type == 2) ans[Query[rr].value] -= sum;
            else if(Query[rr].type == 3) ans[Query[rr].value] += sum;
            term[++res] = Query[rr++];
        }
    }
    while(ll <= mid)
    {
        if(Query[ll].type == 1) sum += Query[ll].value;
        term[++res] = Query[ll++];
    }
    while(rr <= R)
    {
        if(Query[rr].type == 2)
        ans[Query[rr].value] -= sum;
        else if(Query[rr].type == 3)
        ans[Query[rr].value] += sum;
        term[++res] = Query[rr++];
    }
    for(int i = 1; i <= res; i++) Query[L++] = term[i];
}
void init()
{
    qnum = 0;
    anum = 0;
    memset(ans, 0, sizeof(ans));
}
int main()
{
    int T;
    int Case = 1;
    scanf("%d", &T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d", &n);
        init();
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            Query[++qnum].loc = i;
            Query[qnum].type = 1;
            scanf("%d", &Query[qnum].value);
        }
        char op[10];
        int l, r;
        while(~scanf("%s", op))
        {
            if(op[0] == 'E') break;
            if(op[0] == 'Q')
            {
                scanf("%d%d", &l, &r);
                Query[++qnum].loc = l - 1;
                Query[qnum].type = 2;
                Query[qnum].value = ++anum;
                Query[++qnum].loc = r;
                Query[qnum].type = 3;
                Query[qnum].value = anum;
            }
            else if(op[0] == 'A')
            {
                scanf("%d%d", &l, &r);
                Query[++qnum].loc = l;
                Query[qnum].type = 1;
                Query[qnum].value = r;
            }
            else
            {
                scanf("%d%d", &l, &r);
                Query[++qnum].loc = l;
                Query[qnum].type = 1;
                Query[qnum].value = -r;
            }
        }
        cdq(1, qnum);
        printf("Case %d:\n", Case++);
        for(int i = 1; i <= anum; i++)
        {
            printf("%d\n", ans[i]);
        }
    }
    return 0;
}