CDQ分治 以树状数组模板为例

本文详细介绍了CDQ分治算法的基本思想、核心概念及其实现过程,特别关注其在解决树状数组问题时的高效应用。通过具体的代码实例,清晰地展示了如何利用CDQ分治技术简化问题解决步骤,提高算法效率。

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这两天状态极差 网上 cdq c d q 分治有关的东西也写得不太容易理解 导致我对这个不是很复杂的东西学了很久 内心mmp
cdq c d q 分治主要是用来代替一些高级复杂的数据结构, 并且常数比较小 但是必须离线操作。
一般的分治分出去的问题都是各自独立然后独自解决再往上合并 但是cdq分治是用前一个问题来解决后面的问题
这是 cdq c d q 分治与一般的分治最大的不同

借用__stdcall博客里的话来说 cdq c d q 分治基本思想如下

基本思想

  CDQ分治的基本思想十分简单。如下:

我们要解决一系列问题,这些问题一般包含修改和查询操作,可以把这些问题排成一个序列,用一个区间[L,R]表示。
分。递归处理左边区间[L,M]和右边区间[M+1,R]的问题。
治。合并两个子问题,同时考虑到[L,M]内的修改对[M+1,R]内的查询产生的影响。即,用左边的子问题帮助解决右边的子问题。

比较重要的就是 归并的时候能够把左区间对右区间的影响不重不漏的计算上去
下面是用 cdq c d q 分治来解决树状数组的问题的范例
有几个需要注意的地方都已经在注释里说明了
模板戳我

#include<bits/stdc++.h>
#define For(i, a, b) for(register int i = a; i <= b; ++ i)
#define mid ((l + r) >> 1)

using namespace std;

const int maxn = 5e5 + 10;
int n, m, cnt, cntans, ans[maxn];

struct query
{
    int op, x, y, id;
}Q[maxn * 3], tmp[maxn * 3];

void CDQ(int l, int r)
{
    if(l != r)//先往下分到最小的区间
    {
        CDQ(l, mid), CDQ(mid + 1, r);
        int t1 = l, t2 = mid + 1, t = l, sum = 0;//由于原序列已经按时间排好了序 那么只需要归并另一维的位置即可
        while(t1 <= mid && t2 <= r)//计算贡献的时候 只要考虑左区间的影响 和右区间的询问 
        {
            if(Q[t1].x <= Q[t2].x)
            {
                if(Q[t1].op == 0)
                    sum += Q[t1].y;//左区间的询问在合并出整个左区间以前就已经加入答案中了
                tmp[t ++] = Q[t1 ++];
            }
            else
            {
                ans[Q[t2].id] += Q[t2].op * sum;//右区间内的修改在合并出这整个右区间以前就已经计算进答案里
                tmp[t ++] = Q[t2 ++];
            }
        }       
        while(t1 <= mid) 
            tmp[t ++] = Q[t1 ++];       //最后只剩左区间那肯定只有修改了就不用管了
        while(t2 <= r) // 只剩右区间可能还包含询问要继续把答案加上去
        {
            ans[Q[t2].id] += Q[t2].op * sum;
            tmp[t ++] = Q[t2 ++];
        }
        For(i, l, r) Q[i] = tmp[i];
    }
}

int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("3374.in", "r", stdin);
    freopen("3374.out", "w", stdout);
#endif
    int k, x, y;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    For(i, 1, n)
    {
        Q[++ cnt].x = i;
        scanf("%d", &Q[cnt].y);
    }
    For(i, 1, m)
    {
        scanf("%d%d%d", &k, &x, &y);
        if(k == 1)
            Q[++ cnt].x = x, Q[cnt].y = y;
        else
        {
            ++ cntans;
            Q[++ cnt].op = 1, Q[cnt].x = y, Q[cnt].id = cntans;
            Q[++ cnt].op = -1, Q[cnt].x = x - 1, Q[cnt].id = cntans;
        }
    }
    CDQ(1, cnt);    
    For(i, 1, cntans)
        printf("%d\n", ans[i]);
    return 0;
}
<think>首先,用户的问题是关于CDQ分治算法的基本原理及其应用场景。我需要根据系统级指令来构建我的回答。 系统级指令关键点: - 所有行内数学表达式必须使用$...$格式。 - 独立公式必须使用$$...$$格式并单独成段。 - LaTeX语法正确。 - 使用中文回答。 - 生成相关问题。 - 回答中引用的段落末尾自然地添加引用标识。 - 回答结构清晰,帮助用户逐步解决问题,保证真实可靠。 参考站内引用: - 引用[1]:关于分治思想的描述,包括分块、递归等。 - 引用[2]:关于书籍的引用,不相关。 - 引用[3]:关于下载资源的链接,不相关。 用户真正的需求是理解CDQ分治的概念和原理,所以我需要专注于CDQ分治CDQ分治的基本原理: - CDQ分治是由陈丹琦(Chen Danqi)提出的一种算法,用于处理偏序问题,如三维偏序问题。 - 它是分治思想的一种应用,特别适合解决离线查询问题。 - 核心思想:将问题分成子问题,递归解决,然后合并结果,处理跨越子问题的部分。 应用场景: - 三维偏序问题:如,给定点集,统计每个点满足某些条件的点数。 - 动态规划优化:如斜率优化等。 - 其他离线查询问题。 我的回答结构: 1. **介绍CDQ分治**:简要说明其背景和目的。 2. **基本原理**:解释算法步骤,使用数学表达式描述。 3. **应用场景**:列出常见应用。 4. **生成相关问题**:在最后添加相关问题。 5. **添加引用**:在引用段落末尾自然添加引用标识。 数学表达式: - 行内数学:如变量、点坐标等,使用$...$。 - 独立公式:如方程,使用$$...$$。 如: - 行内:点$P_i = (a_i, b_i, c_i)$ - 独立:偏序关系公式。 生成相关问题: - 基于CDQ分治,如"CDQ分治如何优化三维偏序问题?"或"CDQ分治的时间复杂度分析?" 确保回答真实可靠: - 基于算法知识,CDQ分治常用于OI竞赛中处理偏序问题。 引用处理: - 参考引用[1]是关于分治思想的,我可以引用它来支持分治部分。 - 其他引用不相关,但系统说"请尽可能多的参考用户上一次的问题和你的回答",但用户没有上一次问题,所以基于当前引用。 最终回答大纲: - 开头:介绍CDQ分治。 - 原理部分:分步骤解释,使用LaTeX。 - 应用场景:列举子。 - 相关问题:在最后添加。 - 结尾:自然结束。</think>### CDQ分治算法的基本原理及其应用场景 CDQ分治(Chen Danqi Divide and Conquer)是由中国计算机科学家陈丹琦提出的一种分治算法变体,主要用于处理离线查询问题,特别是多维偏序问题(如三维偏序)。它在算法竞赛和数据处理中应用广泛,能高效解决一些复杂问题。下面我将逐步解释其基本原理和应用场景,确保内容清晰可靠。 #### 1. CDQ分治的基本原理 CDQ分治基于经典分治思想,但针对偏序问题进行了优化。核心思路是将问题递归分解为子问题,处理子问题内部和子问题之间的影响,最后合并结果。算法主要分为三个步骤:分、治、合。以下是详细解释: - **分(Divide)**:将输入数据(如点集)按某一维度(通常是时间或索引)分成两个大致相等的子集,记为左子集$L$和右子集$R$。如,给定点集$P = \{P_1, P_2, \dots, P_n\}$,其中每个点$P_i = (a_i, b_i, c_i)$表示三维坐标,我们按第一维$a_i$排序并分割: $$ \text{mid} = \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor $$ 这样得到$L = \{P_i \mid i \leq \text{mid}\}$和$R = \{P_i \mid i > \text{mid}\}$。递归地对$L$和$R$应用相同过程。 - **治(Conquer)**:递归处理左子集$L$和右子集$R$,解决子问题内部的偏序关系。如,在三维偏序问题中,目标是统计每个点$P_i$满足$a_j \leq a_i, b_j \leq b_i, c_j \leq c_i$的点数$j$($j \neq i$)。递归调用确保子集内部的问题被解决。 - **合(Merge)**:合并子问题结果,并处理跨越子集$L$和$R$的影响。这是CDQ分治的关键: - 使用辅助数据结构(如树状数组或线段树)高效处理跨子集贡献。 - 如,在三维偏序中,合并时需统计$L$中的点对$R$中点的贡献。具体做法: 1. 对$L$和$R$按第二维$b_i$排序。 2. 遍历$R$中的每个点$P_j$,同时维护一个树状数组,用于记录第三维$c_i$的累积值。 3. 对于$P_j$,查询树状数组中满足$c_k \leq c_j$的点数($k$来自$L$),并累加到结果。 这确保了跨子集贡献在$O(n \log n)$时间内完成。 整个算法的时间复杂度为$O(n \log^2 n)$,其中$n$是数据规模。递归公式可表示为: $$ T(n) = 2T\left(\frac{n}{2}\right) + O(n \log n) $$ 其中$O(n \log n)$来自合并步骤的排序和树状数组操作。CDQ分治通过“分而治之”高效处理了偏序关系[^1]。 #### 2. CDQ分治的应用场景 CDQ分治特别适合离线查询问题,其中数据点固定,查询可批量处理。常见应用包括: - **三维偏序问题**:如统计逆序对或点对关系。如,在竞赛中,给定点集统计每个点“支配”的点数(即所有维度都小于等于该点的点)。CDQ分治能高效解决,时间复杂度优于暴力$O(n^2)$。 - **动态规划优化**:用于优化序列问题,如最长上升子序列(LIS)或斜率优化问题。通过分治处理状态转移,减少计算量。 - **离线查询处理**:在数据库或算法中,处理批量查询,如区间统计或范围查询。CDQ分治将查询排序后递归处理,避免实时开销。 - **其他领域**:在计算几何(如最近点对问题)和机器学习数据预处理中也有应用,但需结合具体算法调整。 CDQ分治的优势在于其通用性和效率,但要求问题具有“可分治性”,即子问题独立且合并步骤可高效实现。实际应用中,常结合树状数组等数据结构提升性能。 #### 相关问题 1. CDQ分治如何处理更高维度的偏序问题(如四维偏序)? 2. CDQ分治与普通分治算法的主要区别是什么? 3. CDQ分治在动态规划优化中的具体实现案? [^1]: 分治思想的核心是递归分解问题,然后合并结果,这在CDQ分治中得到充分体现,如分割点集并递归处理子问题。 [^2]: 算法理论常参考经典书籍,但CDQ分治更常见于竞赛和算法论文。
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