查找之找出N个整数中最大的K个数

题目一：找出N个整数中第K大的数

类似下边的类快排算法，递归实现，应该可以，需要验证一下。平均复杂度O(n).

题目二：找出N个整数中最大的K个数

两个比较好的解法：O(nlogk)

1快排和递归

【解法二】

回忆一下快速排序，快排中的每一步，都是将待排数据分做两组，其中一组
的数据的任何一个数都比另一组中的任何一个大，然后再对两组分别做类似的操
作，然后继续下去……

在本问题中，假设 N 个数存储在数组 S 中，我们从数组 S 中随机找出一个
元素 X，把数组分为两部分 Sa 和 Sb。Sa 中的元素大于等于 X，Sb 中元素小于 X。

这时，有两种可能性：

1. Sa中元素的个数小于K，Sa中所有的数和Sb中最大的K-|Sa|个元素（|Sa|指Sa

中元素的个数）就是数组S中最大的K个数。

2. Sa中元素的个数大于或等于K，则需要返回Sa中最大的K个元素。

这样递归下去，不断把问题分解成更小的问题，平均时间复杂度 O（N *
log2K）。伪代码如下：

Kbig(S, k):
if(k <= 0):
return [ ] // 返回空数组

if(length S <= k):
return S
(Sa, Sb) = Partition(S)
return Kbig(Sa, k).Append(Kbig(Sb, k – length Sa)

Partition(S):

Sa = [] // 初始化为空数组

Sb = []
// 随机选择一个数作为分组标准，以避免特殊数据下的算法退化
// 也可以通过对整个数据进行洗牌预处理实现这个目的
// Swap(S[1], S[Random() % length S])
p = S[1]
for i in [2: length S]:
S[i] > p ? Sa.Append(S[i]) : Sb.Append(S[i])
// 将p加入较小的组， 可以避免分组失败， 也使分组更均匀，提高效率
length Sa < length Sb ? Sa.Append(p) : Sb.Append(p)
return (Sa, Sb)

2 堆排序

不妨设 N > K，前 K 个数中的最大 K 个数是一个退化的情况，所有 K 个数
就是最大的 K 个数。如果考虑第 K+1 个数 X 呢？如果 X 比最大的 K 个数中的最
小的数 Y 小，那么最大的 K 个数还是保持不变。如果 X 比 Y 大，那么最大的 K
个数应该去掉 Y，而包含 X。如果用一个数组来存储最大的 K 个数，每新加入一
个数 X，就扫描一遍数组，得到数组中最小的数 Y。用 X 替代 Y，或者保持原数
组不变。这样的方法，所耗费的时间为 O（N * K）。

进一步，可以用容量为 K 的最小堆来存储最大的 K 个数。最小堆的堆顶元
素就是最大 K 个数中最小的一个。每次新考虑一个数 X，如果 X 比堆顶的元素
Y 小，则不需要改变原来的堆，因为这个元素比最大的 K 个数小。如果 X 比堆
顶元素大，那么用 X 替换堆顶的元素 Y。在 X 替换堆顶元素 Y 之后，X 可能破
坏最小堆的结构（每个结点都比它的父亲结点大），需要更新堆来维持堆的性
质。更新过程花费的时间复杂度为 O（log2K）。

图 2-1 是一个堆，用一个数组 h[]表示。每个元素 h[i]，它的父亲结点是 h[i/2]，
儿子结点是 h[2 * i + 1]和 h[2 * i + 2]。每新考虑一个数 X，需要进行的更新操作伪
代码如下:

if(X > h[0])
{
h[0] = X;
p = 0;
while(p < K)
{
q = 2 * p + 1;
if(q >= K)
break;
if((q < K-1) && (h[q + 1] < h[q]))
q = q + 1;
if(h[q] < h[p])
{
t = h[p];
h[p] = h[q];
h[q] = t;
p = q;
}
else
break;
}
}

原帖： http://blog.youkuaiyun.com/scottgly/article/details/6958227