Analysis of Learning from Positive and Unlabeled Data

PU learning论文阅读。

本文从基本的分类损失出发，推导了PU的分类问题其实就是Cost-sensitive classification的形式，同时，通过实验证明了如果使用凸函数作为loss function，例如hinge loss会导致错误的分类边界（有bias），因此需要使用例如ramp loss之类的凹函数。同时，论文还对先验$\pi$存在偏差的情况进行了讨论，说明了如果样本中大部分都是正样本，那么就算先验差距比较大，但对总体的分类效果没有太大影响。最后对分类边界进行讨论，证明了使用PU进行分类的误差小于监督学习误差的$2\sqrt{2}$倍。

基本概念和定义

1. Ordinary classification
   • Bayes optimal classifier的目标是最小化misclassification rate，这在Introduction to Statistical Machine Learning By Masashi Sugiyama 书里有定义，直观理解就是最小化期望错分率：
   • $R(f)=\pi R_1(f)+(1-\pi )R_{-1}(f)$
   • 这里的$R_1$表示false negative rate，也就是分错正类的概率，乘以先验正类的概率$\pi$
   • $R_{-1}$表示false positive rate，也就是分错负类的概率，乘以先验负类的概率$1-\pi$
   • 这样，对分错样本的概率分别乘以其先验概率，就是其错分概率的期望。
2. Cost-sensitive classification
   • 如果对于某种错误我们的敏感程度不一样，那么就乘以不同的权重，重新定义为：
   • $R(f)=\pi c_1{R}_1(f)+(1-\pi )c_{-1}{R}_{-1}(f)$
   • 这里用$c_1$和$c_{-1}$分别表示对两种错分的代价
3. PU classification
   • 定义在未标记数据集$X$ 中的分布：
     • $P_X=\pi P_1+(1-\pi )P_{}$