线性代数笔记2：基本子空间的正交性及性质

基本子空间中有着更加特殊和精确的关系，由此可以引出向量空间的正交性及投影等问题。

正交性及正交补

定义：设$S$和$T$是$R^n$的两个子空间（subspace），如果对于$\forall V\in S，w\in T，v^Tw=0$，则$S$垂直于$T$（S is perpendicular to T），并且，这个定义是对称的，即$S$垂直于$T$<=>$T$垂直于$S$。记做$S\perp T$。也可以说$S$和$T$是正交的（S and T are orthogonal）。

几个常见结论

1. 设$A = B_1B_2$，其中$B_1$是$n\times r$ 矩阵，$B_2$是$r\times n$矩阵，后两矩阵秩都为$r$，则$A$是一个$n \times n 矩阵，且r(A) = r$。

   $A$的每一列是$B_1$的列向量的线性组合，因此$C(A)\subset C(B_1)$。
   $A$的每一列是$B_2$的行向量的线性组合，因此$C(A^T)\subset C(B_2^T)$。
   $B_1$是列满秩，则存在可逆