线性代数笔记1：矩阵的四个基本子空间

矩阵的四个基本子空间贯穿整个线性代数，包含了矩阵的秩、维数、基等重要概念。

定义及性质

设$A$为$m\times n$矩阵，则：
列空间（Column space） $C(A) = \{y\in R^m|y = Ax\}$
行空间（Row space） $C(A^T) = \{y\in R^n|y = A^Tx\}$
零空间（Nullspace） $N(A) = \{x\in R^n|Ax = 0\}$
左零空间（Left nullspace） $N(A^T) = \{x\in R^m| A^Tx = 0\}$

基

$C(A)$：化为行阶梯矩阵，主元对应的$A$的列为基。
$C(A^T)$：化为行阶梯矩阵，主元对应的$U$的行为基。
$N(A)$：基础解系为基。
$N(A^T)$：$EA = U_0，E$的$r+1\to m$行为基。

证明：
可将矩阵$A\to U_0 = \begin{pmatrix}I & F \\0 & 0\end{pmatrix}$，前