【学习笔记】「JOISC 2022 Day1」京都观光_[joisc2022] 京都观光-优快云博客

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文章讲述了如何使用下凸包策略来优化从(x_1,y_1)到(x_2,y_2)的路径选择，通过比较行和列的斜率来确定最优路径，并给出了一种贪心算法，其复杂度为O(n)。该算法处理了行和列的凸包合并问题，从而找到最小代价路径。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

考虑哪些行是有作用的。首先，如果是从 $x_1,y_1)$ 走到 $x_2,y_2)$ ，假设最优方案是先向下走，再向右走，那么应该满足条件 $ax2−ax1x2−x1<by2−by1y2−y1\frac{a_{x_2}-a_{x_1}}{x_2-x_1}<\frac{b_{y_2}-b_{y_1}}{y_2-y_1}$ 。进一步的，假设一条最优路径经过了第 $i, j, k$ 行（ $i < j < k$ ）和第 $l, r$ 列（ $l < r$ ），那么与不经过第 $j$ 行的方案相比较，则：

$\begin{cases} \frac{b_r-b_l}{r-l}>\frac{a_j-a_i}{j-i} \\ \frac{b_r-b_l}{r-l}<\frac{a_k-a_j}{k-j} \end{cases}$

因此可以得到只包含 $a_i$ 的式子： $aj−aij−i<ak−ajk−j\frac{a_j-a_i}{j-i}<\frac{a_k-a_j}{k-j}$

这样我们得到了重要的结论： ${a_i\},\{b_i\}$ 中有用的行和列构成了下凸包

因此，答案就是把行和列对应的凸包合并起来。这个合并的过程其实就是从 $(1, 1)$ 开始贪心的在网格图上向右或向下走，例如行的斜率更小那么就向下走（横坐标增大），此时加上列对应的代价。

复杂度 $O (n)$ 。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
using namespace std;
const int N=1e5+5;
int n,m;
int s1[N],cnt1,s2[N],cnt2;
ll a[N],b[N],res;
ll cross(pair<ll,ll>x,pair<ll,ll>y){
    return x.fi*y.se-x.se*y.fi;
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
    for(int i=1;i<=m;i++)cin>>b[i];
    for(int i=1;i<=n;i++){
        while(cnt1>1&&cross(make_pair(s1[cnt1]-s1[cnt1-1],a[s1[cnt1]]-a[s1[cnt1-1]]),make_pair(i-s1[cnt1],a[i]-a[s1[cnt1]]))<0){
            cnt1--;
        }
        s1[++cnt1]=i;
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){
        while(cnt2>1&&cross(make_pair(s2[cnt2]-s2[cnt2-1],b[s2[cnt2]]-b[s2[cnt2-1]]),make_pair(i-s2[cnt2],b[i]-b[s2[cnt2]]))<0){
            cnt2--;
        }
        s2[++cnt2]=i;
    }
    int i=1,j=1;
    while(i<cnt1||j<cnt2){
        if(i<cnt1&&(j==cnt2||cross(make_pair(s1[i+1]-s1[i],a[s1[i+1]]-a[s1[i]]),make_pair(s2[j+1]-s2[j],b[s2[j+1]]-b[s2[j]]))>0)){
            res+=(s1[i+1]-s1[i])*b[s2[j]];
            i++;
        }
        else{
            res+=(s2[j+1]-s2[j])*a[s1[i]];
            j++;
        }
    }
    cout<<res;
}