【学习笔记】「JOISC 2022 Day4」鱼 2

这是道数据结构题。

首先，如果区间$[l,r]$中的一个位置$x$能够成为答案，那么其扩展过后的区间$[l,r]$一定是一段前缀或后缀

注意到，如果$p$能成为前缀的分界点，那么应该满足$a_p>{\sum }_{l\le i<p}{a}_i$。因此，这样的分界点不会超过$\log V$个，进而本质不同的区间不会超过$\log V$个，对于每个等价类我们只用记录个数即可。

事实上，考虑分治（线段树），然后合并左右区间信息。每次借助分界点的信息暴力向左右两边扩展，可以借助用双指针做到$O(n{\log }^{2}n)$。

又因为左端点是固定的，因此本质不同的极大区间不会超过$\log n$个。而左区间只用把有用的分界点存下来即可。事实上这些分界点可以借助左区间的信息得出。可以用双指针做到$O(n{\log }^{2}n)$。

实现时为了方便，使用了树状数组求前缀和。不过事实上，由于我们只关心分界点位置的前缀和，因此可以在线段树上顺便维护出来。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define inf 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define db double
#define cpx complex<db>
using namespace std;
const int N=1e5+5;
int n,m;
ll a[N],s[N];
void add(int x,ll y){
    for(;x<=n;x+=x&-x)s[x]+=y;
}
ll getsum(int l,int r){
    ll res=0;
    for(int x=r;x;x-=x&-x)res+=s[x];
    for(int x=l-1;x;x-=x&-x)res-=s[x];
    return res;
}
struct node{
    vector<pair<int,int>>vl,vr;
}t[N<<2];
int Z;
node merge(node x,node y){
    map<int,int>vl,vr;
    node z;
    vector<pair<int,int>>posl=x.vr,posr=y.vl;
    for(int i=0;i+1<x.vl.size();i++){
        vl[x.vl[i].fi]=x.vl[i].se;
    }
    for(int i=0;i+1<y.vr.size();i++){
        vr[y.vr[i].fi]=y.vr[i].se;
    }
    int pos=-1,pos2=0,pos3=0;
    int l=posl.back().fi,r=posr.back().fi,mid=x.vl.back().fi;
    int nowl=mid+1,nowr=posr[0].fi;
    while(1){
        if(pos+1<posl.size()&&getsum(nowl,nowr)>=a[nowl-1])pos++,nowl=posl[pos].fi;
        else if(pos2+1<posr.size()&&getsum(nowl,nowr)>=a[nowr+1])pos2++,nowr=posr[pos2].fi;
        else{
            while(pos3<=pos2){
                if(pos+1==posl.size())vl[nowr]+=posr[pos3].se;
                if(pos2+1==posr.size())vr[nowl]+=posr[pos3].se;
                pos3++;
            }
            pos2++;
            if(pos2==posr.size())break;
            nowr=posr[pos2].fi;
        }
    }
    pos=0,pos2=-1,pos3=0;
    nowl=posl[0].fi,nowr=mid;
    while(1){
        if(pos2+1<posr.size()&&getsum(nowl,nowr)>=a[nowr+1])pos2++,nowr=posr[pos2].fi;
        else if(pos+1<posl.size()&&getsum(nowl,nowr)>=a[nowl-1])pos++,nowl=posl[pos].fi;
        else{
            while(pos3<=pos){
                if(pos+1==posl.size())vl[nowr]+=posl[pos3].se;
                if(pos2+1==posr.size())vr[nowl]+=posl[pos3].se;
                pos3++;
            }
            pos++;
            if(pos==posl.size())break;
            nowl=posl[pos].fi;
        }
    }
    for(auto x:vl)z.vl.pb(x);
    for(auto x:vr)z.vr.pb(x);
    reverse(z.vr.begin(),z.vr.end());
    return z;
}
void build(int p,int l,int r){
    if(l==r){
        t[p].vl.pb({l,1}),t[p].vr.pb({l,1});
        return;
    }
    int mid=l+r>>1;
    build(p<<1,l,mid),build(p<<1|1,mid+1,r);
    t[p]=merge(t[p<<1],t[p<<1|1]);
}
node query(int p,int l,int r,int ql,int qr){
    if(ql<=l&&r<=qr)return t[p];
    int mid=l+r>>1;
    if(qr<=mid)return query(p<<1,l,mid,ql,qr);
    if(mid<ql)return query(p<<1|1,mid+1,r,ql,qr);
    return merge(query(p<<1,l,mid,ql,qr),query(p<<1|1,mid+1,r,ql,qr));
}
void modify(int p,int l,int r,int x){
    if(l==r)return;
    int mid=l+r>>1;
    x<=mid?modify(p<<1,l,mid,x):modify(p<<1|1,mid+1,r,x);
    t[p]=merge(t[p<<1],t[p<<1|1]);
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i],add(i,a[i]);
    }
    build(1,1,n);
    cin>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int op,x,y;
        cin>>op>>x>>y;
        if(op==1){
            add(x,-a[x]);
            a[x]=y,add(x,a[x]);
            modify(1,1,n,x);
        }
        else{
            node res=query(1,1,n,x,y);
            cout<<res.vl.back().se<<"\n";
        }
    }
}