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仰望星空的蚂蚁

于 2021-10-15 21:35:41 发布

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分类专栏：数学文章标签： c语言动态规划概率论

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本文介绍了一种简洁的数学方法，利用动态规划解决分数打怪游戏，找到从0分到达20分的期望步数。通过递推公式推导出t[i+1]的表达式，并指出最后答案由t19和t20之和给出。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

sol：
提供一种比较简洁和巧妙的做法（二维状态高斯消元就不说了吧 qwq）

题解在代码注释里了。

#include<bits/stdc++.h>
#define db double
using namespace std;
const int N=1e5+5;
//纯数学推导：
//设 dp[i] 表示当前分数为 i ,到达 20 的期望步数 
//根据定义得到 
//dp[0] = dp[0] * q + dp[1] * p + 1
//所以
//dp[0] = dp[1] + 1 / p
//同理 dp[1] = dp[0] * q + dp[2] * p + 1
//即 dp[1] = (dp[1] + 1) * q + dp[2] * p + 1
//所以 dp[0] = 1/{p^2} + 1/p + dp[2]
//以此类推，对于 0<i<=n ，都有 dp[0] = dp[i] + ti ，那么对于 i=n, 有 dp[i] = dp[i-2] * q + dp[i+1] * p + 1
//即 dp[0] - ti = (dp[0] - t_{i-2}) * q + dp[i+1] * p +1
//我们要研究的式子左边是 dp[0] ，而右边是系数为 1 的 dp[i+1] 和一个常数，所以移项可得：
//p * dp[0] = -t_{i-2} * q + ti + dp[i+1] * p + 1
//dp[0] = -t{i-2} * q / p + ti / p + 1/p + dp[i+1]
//所以 t{i+1} = -t{i-2} * q / p + ti / p + 1/p
//又很容易发现两个账号打的次数是可以分开算的，且最终状态一定一个为 19，另一个为 20，所以答案就是 t19 + t20
//当然其他换元的方法也能通过
//关键在于能否推出数列递推式（本质是数列 eg. ai = a_{i-1} +a_{i+1} 将下标进行加减就可以得到不带后效性的递推式 很神奇 qwq） 
db p,q,t[N];  
int main() {
	while(cin>>p) {
		q=1-p;
		t[1]=1.0/p;
		t[2]=1.0/p+1.0/(p*p);
		for(int i=2;i<20;i++) {
			t[i+1]=-t[i-2]*q/p+t[i]/p+1.0/p;
		}
		printf("%lf\n",t[19]+t[20]);
	}
}