本文介绍了如何使用确定有限状态自动机（DFA）解决《剑指Offer》中的一道题目，即判断字符串是否表示合法数值。首先定义字符类型和状态，然后构造转移规则，最后进行字符串验证。通过DFA实现，时间复杂度为O(N)，空间复杂度为O(1)。
这是《剑指Offer》中一道比较有意思的题，题目可以查看：
https://leetcode-cn.com/problems/biao-shi-shu-zhi-de-zi-fu-chuan-lcof/
需要判断给定的字符串是否是一个数值。
采用的解题方法是自动机：
自动机的介绍:
确定有限状态自动机（以下简称「自动机」）是一类计算模型。它包含一系列状态，这些状态中：
有一个特殊的状态，被称作「初始状态」。
还有一系列状态被称为「接受状态」，它们组成了一个特殊的集合。其中，一个状态可能既是「初始状态」，也是「接受状态」。
起初，这个自动机处于「初始状态」。随后，它顺序地读取字符串中的每一个字符，并根据当前状态和读入的字符，按照某个事先约定好的「转移规则」，从当前状态转移到下一个状态；当状态转移完成后，它就读取下一个字符。当字符串全部读取完毕后，如果自动机处于某个「接受状态」，则判定该字符串「被接受」；否则，判定该字符串「被拒绝」。
注意：如果输入的过程中某一步转移失败了，即不存在对应的「转移规则」，此时计算将提前中止。在这种情况下我们也判定该字符串「被拒绝」。
一个自动机，总能够回答某种形式的「对于给定的输入字符串 S，判断其是否满足条件 P」的问题。在本题中，条件 P 即为「构成合法的表示数值的字符串」。
自动机驱动的编程，可以被看做一种暴力枚举方法的延伸：它穷尽了在任何一种情况下，对应任何的输入，需要做的事情。
则首先，我们定义字符具有的类型以及所有的状态类型：
enum CharType {
CHAR_NUMBER, // 数字
CHAR_EXP, // e或E
CHAR_POINT, // 小数点
CHAR_SIGN, // + 或 -
CHAR_SPACE,
CHAR_ILLEGAL,
}
enum State {
STATE_INITIAL, // 初始状态
STATE_INT_SIGN, // 符号
STATE_INTEGER, // 整数
STATE_POINT, // 小数点
STATE_POINT_WITHOUT_INT,
STATE_FRACTION,
STATE_EXP,
STATE_EXP_SIGN,
STATE_EXP_NUMBER,
STATE_END,
}
接着构造“转移规则”，也可以理解为每个状态对应极其对应的可接受状态集合
// transfer用来记录每个状态State 对应的 可接受状态集合，其中可接受状态Map<CharType, State>中的State是对应CharType
Map<State, Map<CharType, State>> transfer = new HashMap<State, Map<CharType, State>>();
// STATE_INITIAL状态对应的可接受状态是initialMap中的4种状态
// initialMap中的State表示的是 CharType在上个State的条件下出现所代表的状态
Map<CharType, State> initialMap = new HashMap<CharType, State>() {{
put(CharType.CHAR_SPACE, State.STATE_INITIAL);
put(CharType.CHAR_NUMBER, State.STATE_INTEGER);
put(CharType.CHAR_POINT, State.STATE_POINT_WITHOUT_INT);
put(CharType.CHAR_SIGN, State.STATE_INT_SIGN);
}};
transfer.put(State.STATE_INITIAL, initialMap);
// STATE_INT_SIGN状态对应的可接受状态是intSignMap中的2种状态
Map<CharType, State> intSignMap = new HashMap<CharType, State>() {{
put(CharType.CHAR_NUMBER, State.STATE_INTEGER);
put(CharType.CHAR_POINT, State.STATE_POINT_WITHOUT_INT);
}};
transfer.put(State.STATE_INT_SIGN, intSignMap);
// STATE_INTEGER状态对应的可接受状态是integerMap中的4种状态
Map<CharType, State> integerMap = new HashMap<CharType, State>() {{
put(CharType.CHAR_NUMBER, State.STATE_INTEGER);
put(CharType.CHAR_EXP, State.STATE_EXP);
put(CharType.CHAR_POINT, State.STATE_POINT);
put(CharType.CHAR_SPACE, State.STATE_END);
}};
transfer.put(State.STATE_INTEGER, integerMap);
// STATE_POINT状态对应的可接受状态是pointMap中的3种状态
Map<CharType, State> pointMap = new HashMap<CharType, State>() {{
put(CharType.CHAR_NUMBER, State.STATE_FRACTION);
put(CharType.CHAR_EXP, State.STATE_EXP);
put(CharType.CHAR_SPACE, State.STATE_END);
}};
transfer.put(State.STATE_POINT, pointMap);
// STATE_POINT_WITHOUT_INT状态对应的可接受状态是pointWithoutIntMap中的1种状态
Map<CharType, State> pointWithoutIntMap = new HashMap<CharType, State>() {{
put(CharType.CHAR_NUMBER, State.STATE_FRACTION);
}};
transfer.put(State.STATE_POINT_WITHOUT_INT, pointWithoutIntMap);
// STATE_FRACTION状态对应的可接受状态是fractionMap中的3种状态
Map<CharType, State> fractionMap = new HashMap<CharType, State>() {{
put(CharType.CHAR_NUMBER, State.STATE_FRACTION);
put(CharType.CHAR_EXP, State.STATE_EXP);
put(CharType.CHAR_SPACE, State.STATE_END);
}};
transfer.put(State.STATE_FRACTION, fractionMap);
// 之后都是类似
Map<CharType, State> expMap = new HashMap<CharType, State>() {{
put(CharType.CHAR_NUMBER, State.STATE_EXP_NUMBER);
put(CharType.CHAR_SIGN, State.STATE_EXP_SIGN);
}};
transfer.put(State.STATE_EXP, expMap);
Map<CharType, State> expSignMap = new HashMap<CharType, State>() {{
put(CharType.CHAR_NUMBER, State.STATE_EXP_NUMBER);
}};
transfer.put(State.STATE_EXP_SIGN, expSignMap);
Map<CharType, State> expNumberMap = new HashMap<CharType, State>() {{
put(CharType.CHAR_NUMBER, State.STATE_EXP_NUMBER);
put(CharType.CHAR_SPACE, State.STATE_END);
}};
transfer.put(State.STATE_EXP_NUMBER, expNumberMap);
Map<CharType, State> endMap = new HashMap<CharType, State>() {{
put(CharType.CHAR_SPACE, State.STATE_END);
}};
transfer.put(State.STATE_END, endMap);
自动机构造好之后，最后就是验证字符串的工作
// s是待验证字符串
int length = s.length();
// 初始状态是STATE_INITIAL
State state = State.STATE_INITIAL;
for (int i = 0; i < length; i++) {
CharType type = toCharType(s.charAt(i));
if (!transfer.get(state).containsKey(type)) {
// 如果这个字符的type不在上个字符的可接受状态集合内，就false
return false;
} else {
// state更新成 上个state对应的可接受状态中CharType对应的State
state = transfer.get(state).get(type);
}
}
// 结尾的字符只有在这5种状态中才合法
return state == State.STATE_INTEGER || state == State.STATE_POINT || state == State.STATE_FRACTION || state == State.STATE_EXP_NUMBER || state == State.STATE_END;
完整的代码：
import java.util.HashMap;
import java.util.Map;
class Solution {
public boolean isNumber(String s) {
// transfer用来记录每个状态State 对应的 可接受状态，其中可接受状态Map<CharType, State>中的State是对应CharType
Map<State, Map<CharType, State>> transfer = new HashMap<State, Map<CharType, State>>();
// STATE_INITIAL状态对应的可接受状态是initialMap中的4种状态
// initialMap中的State表示的是 CharType在上个State的条件下出现所代表的状态
Map<CharType, State> initialMap = new HashMap<CharType, State>() {{
put(CharType.CHAR_SPACE, State.STATE_INITIAL);
put(CharType.CHAR_NUMBER, State.STATE_INTEGER);
put(CharType.CHAR_POINT, State.STATE_POINT_WITHOUT_INT);
put(CharType.CHAR_SIGN, State.STATE_INT_SIGN);
}};
transfer.put(State.STATE_INITIAL, initialMap);
// STATE_INT_SIGN状态对应的可接受状态是intSignMap中的2种状态
Map<CharType, State> intSignMap = new HashMap<CharType, State>() {{
put(CharType.CHAR_NUMBER, State.STATE_INTEGER);
put(CharType.CHAR_POINT, State.STATE_POINT_WITHOUT_INT);
}};
transfer.put(State.STATE_INT_SIGN, intSignMap);
// STATE_INTEGER状态对应的可接受状态是integerMap中的4种状态
Map<CharType, State> integerMap = new HashMap<CharType, State>() {{
put(CharType.CHAR_NUMBER, State.STATE_INTEGER);
put(CharType.CHAR_EXP, State.STATE_EXP);
put(CharType.CHAR_POINT, State.STATE_POINT);
put(CharType.CHAR_SPACE, State.STATE_END);
}};
transfer.put(State.STATE_INTEGER, integerMap);
// STATE_POINT状态对应的可接受状态是pointMap中的3种状态
Map<CharType, State> pointMap = new HashMap<CharType, State>() {{
put(CharType.CHAR_NUMBER, State.STATE_FRACTION);
put(CharType.CHAR_EXP, State.STATE_EXP);
put(CharType.CHAR_SPACE, State.STATE_END);
}};
transfer.put(State.STATE_POINT, pointMap);
// STATE_POINT_WITHOUT_INT状态对应的可接受状态是pointWithoutIntMap中的1种状态
Map<CharType, State> pointWithoutIntMap = new HashMap<CharType, State>() {{
put(CharType.CHAR_NUMBER, State.STATE_FRACTION);
}};
transfer.put(State.STATE_POINT_WITHOUT_INT, pointWithoutIntMap);
// STATE_FRACTION状态对应的可接受状态是fractionMap中的3种状态
Map<CharType, State> fractionMap = new HashMap<CharType, State>() {{
put(CharType.CHAR_NUMBER, State.STATE_FRACTION);
put(CharType.CHAR_EXP, State.STATE_EXP);
put(CharType.CHAR_SPACE, State.STATE_END);
}};
transfer.put(State.STATE_FRACTION, fractionMap);
// 之后都是类似
Map<CharType, State> expMap = new HashMap<CharType, State>() {{
put(CharType.CHAR_NUMBER, State.STATE_EXP_NUMBER);
put(CharType.CHAR_SIGN, State.STATE_EXP_SIGN);
}};
transfer.put(State.STATE_EXP, expMap);
Map<CharType, State> expSignMap = new HashMap<CharType, State>() {{
put(CharType.CHAR_NUMBER, State.STATE_EXP_NUMBER);
}};
transfer.put(State.STATE_EXP_SIGN, expSignMap);
Map<CharType, State> expNumberMap = new HashMap<CharType, State>() {{
put(CharType.CHAR_NUMBER, State.STATE_EXP_NUMBER);
put(CharType.CHAR_SPACE, State.STATE_END);
}};
transfer.put(State.STATE_EXP_NUMBER, expNumberMap);
Map<CharType, State> endMap = new HashMap<CharType, State>() {{
put(CharType.CHAR_SPACE, State.STATE_END);
}};
transfer.put(State.STATE_END, endMap);
// 截至此，以上工作都在构造transfer
int length = s.length();
// 初始状态是STATE_INITIAL
State state = State.STATE_INITIAL;
for (int i = 0; i < length; i++) {
CharType type = toCharType(s.charAt(i));
if (!transfer.get(state).containsKey(type)) {
// 如果这个字符的type不在上个字符的可接受状态中，就false
return false;
} else {
// 否则就state更新成 上个state对应的可接受状态中CharType对应的State
state = transfer.get(state).get(type);
}
}
// 结尾的字符只有在这5种状态中才合法
return state == State.STATE_INTEGER || state == State.STATE_POINT || state == State.STATE_FRACTION || state == State.STATE_EXP_NUMBER || state == State.STATE_END;
}
/**
* 返回字符对应的CharType
*
* @param ch
* @return
*/
public CharType toCharType(char ch) {
if (ch >= '0' && ch <= '9') {
return CharType.CHAR_NUMBER;
} else if (ch == 'e' || ch == 'E') {
return CharType.CHAR_EXP;
} else if (ch == '.') {
return CharType.CHAR_POINT;
} else if (ch == '+' || ch == '-') {
return CharType.CHAR_SIGN;
} else if (ch == ' ') {
return CharType.CHAR_SPACE;
} else {
return CharType.CHAR_ILLEGAL;
}
}
// 状态的枚举
enum State {
STATE_INITIAL,
STATE_INT_SIGN,
STATE_INTEGER,
STATE_POINT,
STATE_POINT_WITHOUT_INT,
STATE_FRACTION,
STATE_EXP,
STATE_EXP_SIGN,
STATE_EXP_NUMBER,
STATE_END,
}
enum CharType {
CHAR_NUMBER,
CHAR_EXP,
CHAR_POINT,
CHAR_SIGN,
CHAR_SPACE,
CHAR_ILLEGAL,
}
}
- 时间复杂度：O(N)，其中 N 为字符串的长度。我们需要遍历字符串的每个字符，其中状态转移所需的时间复杂度为 O(1)。
- 空间复杂度：O(1)。只需要创建固定大小的状态转移表
总结下来自动机的思想并不复杂，就是前期的准备工作比较繁杂，代码量大。
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