0x15 内容简介与例题习题

《算法竞赛进阶指南》读书笔记汇总
这里面是我在阅读《算法竞赛进阶指南》这本书时的一些思考，有兴趣可以瞧瞧！
如若发现什么问题，可以通过评论或者私信作者提出。希望各位大佬不吝赐教！

KMP模式匹配

KMP的原理以及$next$数组的求解方法这里就不再赘述啦！主要讲讲他们的应用吧！

【例题】周期（AcWing141）

题目链接
思路： 首先我们的结论是：如果$i$时，$i-next[i]$是前缀$i$的最小循环节长度。证明起来是比较简单的，自己可以画个图证明一下。那么我们求出$next$数组之后，就枚举每一个位置，求出来就好啦！

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1000005;

char s[N];
int n;
int nt[N];
int kase;

void getnt(){
    nt[0] = -1;
    int i = 0,j = -1;
    while(i < n){
        if(j == -1 || s[i] == s[j]) nt[++ i] = ++ j;
        else j = nt[j];
    }
}


void solve(){
    scanf("%s",s);
    getnt();
    
    printf("Test case #%d\n",++ kase);
    for(int i = 1;i <= n;i ++){
        if(nt[i] && i % (i - nt[i]) == 0){
            printf("%d %d\n",i, i / (i - nt[i]));   
        }
    }
    
    puts(""); 
}

int main(){
    while(scanf("%d",&n) && n)
        solve();
    return 0;
}

【习题】奶牛矩阵（AcWing159）

题目链接
思路： 观察到矩形的宽度数据范围很小，我们可以枚举矩形的宽度，暴力判断每一个宽度在每一行是否满足覆盖条件。对于满足条件的宽度，我们可以用KMP来求出按列的最小循环节长度，注意这里的判断相等不是判断单字符相等，而是判断长度为所枚举的宽度的字符串相等。

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 10005;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int n,m;
char s[N][80];
int nt[N];
bool fl[80];

bool equal(int i,int j,int width){
    for (int k = 1;k <= width;k ++)
        if(s[i][k] != s[j][k]) return false;
    return true;
}

void getnt(int width){
    nt[1] = 0;
    int i = 1,j = 0;
    while(i <= n){
        if(j == 0 || equal(i,j,width)) nt[++ i] = ++ j;
        else j = nt[j];
    }
}

void solve(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        scanf("%s", s[i] + 1);
        
    memset(fl, true, sizeof fl);
    
    for(int i = 1;i <= n;i ++){
        for(int len = 1;len <= m;len ++){
            if(fl[len]){
                for(int j = len + 1;j <= m;j += len){
                    for(int k = 1;k <= len && j + k - 1 <= m;k ++)
                        if(s[i][k] != s[i][j + k - 1]){
                            fl[len] = false;
                            break;
                        }
                    if(!fl[len]) break;
                }
            }
        }
    }
    
    int ans = INF;
    for(int len = 1;len <= m;len ++){
        if(fl[len]){
            getnt(len);
            ans = min(ans, len * (n - nt[n + 1] + 1));
        }
    }
    
    printf("%d\n", ans);
}

int main(){
    solve();
    return 0;
}

【习题】匹配统计（AcWing160）

题目链接
思路： 我们不难用字符串哈希在$O(nlogn)$时间内算出所有结果。
这里介绍一个使用$KMP$的方法在$O(n)$时间内求解问题。
令主串为$S$，模式串为$T$，$f[i]$表示匹配长度至少为$i$的后缀个数。
我们知道，$KMP$在匹配的时候，指向主串的指针是不回溯的，当该指针指向的位置为$i$，模式串指针指向的位置为$j$时，如果$S[i]==T[j]$，那么，后缀$i-j$的匹配长度至少为$j$，此时$f[j]++$。

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 200005;

int n, m, q;
char s[N],t[N];
int nt[N];
int f[N];

void getnt(char s[],int n){
    int i = 0,j = -1;
    nt[0] = -1;
    while(i < n){
        if(j == -1 || s[i] == s[j]) nt[++ i] = ++ j;
        else j = nt[j];
    }
}

void KMP(){
    int i = 0,j = 0;
    while(i < n){
        if(j == -1 || s[i] == t[j]) i ++, j ++, f[j] ++;
        else j = nt[j];
    }
}

void solve(){
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
    scanf("%s",s);
    scanf("%s",t);
    
    getnt(t,m);
    KMP();   
    
    for(int i = m; i; i --) f[nt[i]] += f[i];
        
    while(q --){
        int x;
        scanf("%d", &x);
        printf("%d\n",f[x] - f[x + 1]);
    }
}

int main(){
    solve();
    return 0;
}

最小表示法

假如我们的字符串为$S[1...n]$
我们先规定$B[i]$为从$i$开始的循环同构串，即$S[i...n]$+$S[1...i-1]$
最小表示法$O(n)$算法如下：
1.首先把字符串复制一遍放在后面
2.初始化为$i=1，j=2$
3.通过直接向后扫描的方法，比较$B[i]$与$B[j]$两个循环同构串。
（1）如果扫描了$n$个字符之后仍然相等，说明$S$有更小的循环元，并且该循环元已经扫描完毕，此时$B[min(i,j)]$就是最小表示，算法结束。
（2）如果在$i+k$与$j+k$处发现不相等的字符：
若$S[i+k]>S[j+k]$，那么令$i=i+k+1$。若此时$i=j$，令$i=i+1$。
若$S[i+k]<S[j+k]$，那么令$j=j+k+1$。若此时$i=j$，令$j=j+1$。
4.执行步骤(3)直到$i>n$或者$j>n$时，停止算法。此时$B[min(i,j)]$为最小表示。
代码实现见例题。

【例题】雪花雪花雪花（AcWing137）

题目链接
思路： 取正序和逆序最小表示中的最小表示，如果相等，则为同一雪花。

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define N 100005

using namespace std;

int n;
int a[N][6];
int idx[N];

bool cmp_a(int a[],int b[]){ // a < b
    for(int i = 0,j = 0; i < 6; i ++, j ++){
        if(a[i] < b[j]) return true;
        else if(a[i] > b[j]) return false;
    }
    return false;
}

bool cmp2(int x,int y){
    return cmp_a(a[x],a[y]);
}

void get_min(int a[]){
    static int b[12];
    for(int i = 0;i < 12;i ++) b[i] = a[i % 6];
    
    int i = 0,j = 1,k;
    
    while(i < 6 && j < 6){
        for(k = 0;k < 6 && b[i + k] == b[j + k];k ++);
        if(k == 6) break;
        if(b[i + k] < b[j + k]){
            j += k + 1;
            if(i == j) j ++;
        }
        else{
            i += k + 1;
            if(i == j) i ++;
        }
    }
    
    k = min(i,j);
    
    for(i = 0;i < 6;i ++) a[i] = b[i + k];
}

void solve(){
    scanf("%d",&n);
    
    for(int i = 1;i <= n;i ++){
        int snow[6],isnow[6];
        for(int j = 0, k = 5;j < 6;j ++,k -- ){
            scanf("%d",&snow[j]);
            isnow[k] = snow[j];
        }
    
        get_min(snow);
        get_min(isnow);
        
        if(cmp_a(snow,isnow)) memcpy(a[i],snow,sizeof snow);
        else memcpy(a[i], isnow, sizeof isnow);
    
        idx[i] = i;
    }

    sort(idx + 1,idx + 1 + n,cmp2);
    
    bool flag = false;
    for(int i = 2;i <= n;i ++){
        if(!cmp_a(a[idx[i]], a[idx[i - 1]]) && !cmp_a(a[idx[i - 1]], a[idx[i]]) )
        {
            flag = true;   
        }
    }
    
    if(!flag) puts("No two snowflakes are alike.");
    else puts("Twin snowflakes found.");
    
}

int main(){
    solve();
    return 0;
}