P1036 [NOIP 2002 普及组] 选数

记录140

#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std; 
const int N=25; // 定义常量N，表示n的最大范围（题目n<=20）
int n,k; // n表示整数个数，k表示需要选出的个数
int a[N]; // 记录n个整数
int ans=0; // 记录和为素数的组合种类数
// 判断一个数x是否为素数
bool is_prime(int x){
    if(x<2) return false; // 小于2的数不是素数
    for(int i=2;i*i<=x;i++){
        if(x%i==0) return false; // 如果能被i整除，不是素数
    }
    return true; // 是素数
}

// 深度优先搜索（DFS）
// start: 当前从第几个数开始选（保证组合不重复且有序）
// cur: 当前已经选了几个数
// sum: 当前已选数的总和
void dfs(int start,int cur,int sum){
    if(cur==k){ // 如果已经选够了k个数（递归终止条件）
        if(is_prime(sum)) ans++; // 判断总和是否为素数,种类数加1
        return; // 结束当前递归分支
    }    
    // 可行性剪枝：剩下的数必须足够凑齐k个
    // 当前从start开始选，还需要选(k-cur)个数，所以i的上限是 n-(k-cur)+1
    // 循环终点 = 总数 - 还需要选的个数 + 1
    for(int i=start;i<=n-(k-cur)+1;i++){
        dfs(i+1,cur+1,sum+a[i]); // 从下一个位置开始选，已选数量+1，总和加上a[i]
    }
}
int main(){ // 主函数入口
    ios::sync_with_stdio(false); // 关闭标准流同步，提升输入输出效率
    cin.tie(0); // 解除cin与cout的绑定，加快读取速度
    cin>>n>>k; // 读入n和k
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];// 读入n个整数 
    dfs(1,0,0); // 从第1个数开始选，当前选了0个，当前总和为0
    cout<<ans; // 输出和为素数的组合种类数
    return 0; // 程序正常结束
}

---

题目传送门https://www.luogu.com.cn/problem/P1036

---

前言

我是一名专注信奥赛（CSP-J/S、NOIP）的教练。

• 如果你觉得这篇题解对你有帮助，欢迎点击关注我的优快云账号，我会持续更新高质量算法解析。
• 我深知算法思维的构建远比单纯通过题目更重要，本系列题解不局限于AC代码的堆砌，而是致力于拆解题目背后的逻辑链条与核心知识点
• 备赛路上若遇瓶颈，欢迎随时评论或私信，我将甄选典型疑难问题，通过视频讲解或撰写专项文章的形式，为你提供深度答疑。

---

核心解题思路

这道题是一道非常经典的组合枚举与素数判定问题。

1. 问题转化：
   题目要求从 n个整数中任选 kk 个相加，统计和为素数的组合种类数。这本质上是一个“从 n 个数中取 k 个数的组合问题”（即 Cnk ），而不是排列问题。因为加法满足交换律，3+7+19 和 7+3+19 是同一个组合，我们需要避免重复计算。

2. 算法选择（DFS + 剪枝）：
   由于 n≤20 ，数据规模较小，我们可以使用深度优先搜索（DFS）来暴力枚举所有可能的组合。

   • 避免重复：在 DFS 过程中，我们通过一个 start 参数来记录当前从哪个位置开始选数。每次递归选择下一个数时，都从当前位置的下一个位置（i+1）开始选，从而保证选出的数在原数组中的下标是严格递增的，天然避免了组合的重复。
   • 可行性剪枝：在枚举当前层的选择时，如果剩下的数字个数不足以凑齐 kk 个数，就提前停止枚举，减少无效搜索。
   • 素数判定：当凑齐 kk 个数时，计算它们的和，并使用试除法判断该和是否为素数。

---

 代码分块详细解释

1. 头文件、常量与全局变量定义

#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std; 
const int N=25; // 定义常量 N，表示 n 的最大范围（题目 n<=20）
int n,k; // n 表示整数个数，k 表示需要选出的个数
int a[N]; // 记录 n 个整数
int ans=0; // 记录和为素数的组合种类数

• 详细分析：这部分定义了算法的基础变量。a[N] 用来存储输入的 nn 个整数，ans 作为全局计数器，用来累加满足条件的组合数。

2. 素数判定函数（is_prime）

// 判断一个数 x 是否为素数
bool is_prime(int x){
    if(x<2) return false; // 小于 2 的数不是素数
    for(int i=2;i*i<=x;i++){
        if(x%i==0) return false; // 如果能被 i 整除，不是素数
    }
    return true; // 是素数
}

• 详细分析：这是一个标准的试除法求素数函数。
  • 边界处理：首先排除了小于 2 的情况，因为 0 和 1 不是素数。
  • 循环优化：循环的终止条件是 i*i <= x（即 i≤xi≤x​ ）。这是因为如果 xx 有一个大于 xx​ 的因子，那么它必然有一个小于 xx​ 的对应因子。这种优化将素数判定的时间复杂度从 O(x)O(x) 降低到了 O(x)O(x​) ，对于本题中可能达到 5×106×205×106×20 级别的和来说，效率提升非常明显。

3. 核心逻辑：DFS 组合枚举与剪枝

// 深度优先搜索（DFS）
// start: 当前从第几个数开始选（保证组合不重复且有序）
// cur: 当前已经选了几个数
// sum: 当前已选数的总和
void dfs(int start, int cur, int sum){
    if(cur==k){ // 如果已经选够了 k 个数（递归终止条件）
        if(is_prime(sum)) ans++; // 判断总和是否为素数,种类数加 1
        return; // 结束当前递归分支
    }    
    // 可行性剪枝：剩下的数必须足够凑齐 k 个
    // 当前从 start 开始选，还需要选 (k-cur) 个数，所以 i 的上限是 n-(k-cur)+1
    // 循环终点 = 总数 - 还需要选的个数 + 1
    for(int i=start; i<=n-(k-cur)+1; i++){
        dfs(i+1, cur+1, sum+a[i]); // 从下一个位置开始选，已选数量+1，总和加上 a[i]
    }
}

• 详细分析：这是代码的灵魂，完美实现了组合枚举。
  • 递归终止条件：当 cur == k 时，说明已经凑齐了 kk 个数，此时直接调用 is_prime(sum) 进行判定，如果为真则全局答案 ans 加 1。
  • 避免重复的核心：for 循环的起始值是 start，而递归调用时传入的是 i+1。这意味着如果当前选择了第 i 个数，下一层递归只能从 i+1 及之后的数中选择。这保证了选出的数在原数组中的下标是严格递增的，从而避免了 3+7+19 和 7+3+19 这种重复计算。
  • 可行性剪枝：循环的终止条件 i <= n-(k-cur)+1 是一个经典的组合数学优化。它的意思是：当前还需要选 k-cur 个数，如果从当前位置 i 往后数，剩下的数字个数已经不够填满这 k-cur 个位置了，那么继续枚举 i 及其后面的数就没有意义了，直接跳出循环。

4. 主函数：输入处理与启动搜索

int main(){ 
    ios::sync_with_stdio(false); 
    cin.tie(0); 
    cin>>n>>k; // 读入 n 和 k
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i]; // 读入 n 个整数 
    dfs(1,0,0); // 从第 1 个数开始选，当前选了 0 个，当前总和为 0
    cout<<ans; // 输出和为素数的组合种类数
    return 0; 
}

• 详细分析：主函数负责数据的读入和算法的启动。dfs(1,0,0) 表示从数组的第 1 个位置开始尝试选择，当前已经选了 0 个数，当前的累加和为 0。

---

核心逻辑总结表

代码模块	核心变量/操作	精炼作用	解决的痛点
素数判定	is_prime(int x)	试除法判断一个数是否为素数	准确判定组合的和是否符合题目要求，i*i<=x 保证了效率
递归终止	if(cur==k)	判断是否已经选够了 k 个数	到达搜索树的叶子节点，进行结果统计
避免重复	dfs(i+1, ...)	下一层递归只能从当前数的下一个位置开始选	保证选出的组合下标严格递增，避免了排列带来的重复计算
可行性剪枝	i <= n-(k-cur)+1	限制当前层枚举的上界	当剩余数字不足以凑齐 k 个数时提前终止，大幅减少无效搜索
状态传递	sum+a[i]	将当前选择的数累加到总和中	在递归过程中动态维护当前组合的总和，避免了在叶子节点重新遍历求和
全局计数	ans++	累加满足条件的组合数	记录最终的答案