P1460 [USACO2.1] 健康的荷斯坦奶牛 Healthy Holsteins

记录139

#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std; 
const int N=30; 
int v; // 定义全局变量v，表示需要的维他命种类数
int need[N]; // 记录每种维他命每天需要的最小量
int g; // 定义全局变量g，表示饲料的种数
int feed[N][N]; // 二维数组，feed[i][j]表示第i种饲料含有的第j种维他命量
int path[N]; // 记录当前搜索路径中选择的饲料编号
bool found=false; // 标记是否已经找到了最优解

// 检查当前路径中选择的饲料是否满足所有维他命的需求
bool check(int cnt){
    int sum[N]={}; // 临时数组，记录当前组合下每种维他命的总量
    for(int i=1;i<=cnt;i++){ // 遍历当前选中的每一种饲料
        int id=path[i]; // 获取该饲料的编号
        for(int j=1;j<=v;j++){ // 累加该饲料提供的各种维他命
            sum[j]+=feed[id][j];
        }
    }
    for(int i=1;i<=v;i++){ // 检查每种维他命是否达标
        if(sum[i]<need[i]){ // 如果有任何一种维他命不足
            return false; // 返回不合法
        }
    }
    return true; // 所有维他命均满足需求
}

// 深度优先搜索（DFS）函数，cur表示当前正在选第几个，cnt表示总共需要选几个
void dfs(int cur,int cnt){
    if(found) return;// 如果已经找到了最优解（因为我们是按数量从小到大搜的，找到即最优）
       // 直接剪枝返回
    if(cur>cnt){ // 如果已经选够了cnt种饲料，越界收网 
        if(check(cnt)){ // 检查当前方案是否满足维他命需求
            cout<<cnt; // 输出最少的饲料种数
            for(int i=1;i<=cnt;i++) cout<<" "<<path[i]; // 按顺序输出选择的饲料编号          
            found=true; // 标记已找到，后续搜索全部剪枝
        }
        return; // 结束当前递归分支
    }
    // 从上一个选择的饲料编号+1开始枚举，保证选择的饲料编号是递增的（字典序最小）
    // 剪枝：剩下的饲料数量必须足够凑齐cnt种
    for(int i=path[cur-1]+1;i<=g-(cnt-cur+1)+1;i++){
        path[cur]=i; // 选择第i种饲料
        dfs(cur+1,cnt); // 继续选择下一种
    }
}

int main(){ // 主函数入口
    ios::sync_with_stdio(false); // 关闭标准流同步，提升输入输出效率
    cin.tie(0); // 解除cin与cout的绑定，加快读取速度
    
    cin>>v; // 读入维他命种类数v
    for(int i=1;i<=v;i++) cin>>need[i]; // 读入每种维他命的需求量
    cin>>g; // 读入饲料种数g
    for(int i=1;i<=g;i++){ // 读入每种饲料的维他命含量
        for(int j=1;j<=v;j++) cin>>feed[i][j];   
    }  
    // 从小到大枚举需要选择的饲料种数（1种，2种，3种...）
    for(int i=1;i<=g;i++){
        path[0]=0; // 初始化路径起点为0（保证第一个饲料从1开始选）
        dfs(1,i); // 尝试选i种饲料
        if(found) break;// 如果找到了，直接跳出循环        
    }
    return 0; // 程序正常结束
}

---

题目传送门https://www.luogu.com.cn/problem/P1460

---

前言

我是一名专注信奥赛（CSP-J/S、NOIP）的教练。

• 如果你觉得这篇题解对你有帮助，欢迎点击关注我的优快云账号，我会持续更新高质量算法解析。
• 我深知算法思维的构建远比单纯通过题目更重要，本系列题解不局限于AC代码的堆砌，而是致力于拆解题目背后的逻辑链条与核心知识点
• 备赛路上若遇瓶颈，欢迎随时评论或私信，我将甄选典型疑难问题，通过视频讲解或撰写专项文章的形式，为你提供深度答疑。

---

核心解题思路

这道题是一道经典的迭代加深搜索（Iterative Deepening Search, IDS）问题。

1. 问题转化与策略选择：
   题目要求我们选出最少的饲料种数，并且在种数相同的情况下，输出字典序最小的饲料编号组合。由于饲料种数 g≤15g≤15 ，数据规模较小，我们可以直接枚举。但如果我们直接暴力搜索所有子集，很难保证找到的第一个解就是“种数最少”的。因此，我们采用迭代加深的策略：从选 1 种饲料开始尝试，如果找不到可行解，再尝试选 2 种，依此类推。这样，我们找到的第一个可行解，必然就是饲料种数最少的最优解。

2. 保证字典序最小：
   在 DFS 搜索过程中，我们强制让选择的饲料编号严格递增（即下一个选择的饲料编号必须大于上一个）。这样，当我们从小到大枚举饲料时，自然保证了最终输出的组合是字典序最小的。

3. 全局剪枝：
   因为我们是按照饲料种数从少到多进行搜索的，一旦在某一层（比如选 k 种）找到了一个可行解，那么它一定是最优的。此时我们可以设置一个全局标志位 found，直接终止所有后续的搜索，极大提升效率。

---

代码分块详细解释

1. 头文件、常量与全局变量定义

#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std; 
const int N=30; 
int v; // 定义全局变量 v，表示需要的维他命种类数
int need[N]; // 记录每种维他命每天需要的最小量
int g; // 定义全局变量 g，表示饲料的种数
int feed[N][N]; // 二维数组，feed[i][j] 表示第 i 种饲料含有的第 j 种维他命量
int path[N]; // 记录当前搜索路径中选择的饲料编号
bool found=false; // 标记是否已经找到了最优解

• 详细分析：path 数组是本题记录答案的关键，它用来存储当前 DFS 路径上选中的饲料编号。found 是一个全局剪枝变量，配合迭代加深的策略，一旦找到答案就彻底停止搜索。

2. 合法性检查函数（check）

// 检查当前路径中选择的饲料是否满足所有维他命的需求
bool check(int cnt){
    int sum[N]={}; // 临时数组，记录当前组合下每种维他命的总量
    for(int i=1;i<=cnt;i++){ // 遍历当前选中的每一种饲料
        int id=path[i]; // 获取该饲料的编号
        for(int j=1;j<=v;j++){ // 累加该饲料提供的各种维他命
            sum[j]+=feed[id][j];
        }
    }
    for(int i=1;i<=v;i++){ // 检查每种维他命是否达标
        if(sum[i]<need[i]){ // 如果有任何一种维他命不足
            return false; // 返回不合法
        }
    }
    return true; // 所有维他命均满足需求
}

• 详细分析：当 DFS 选够了指定数量（cnt）的饲料后，调用此函数进行验证。它遍历 path 数组中选中的饲料，将它们对应的维他命含量累加到 sum 数组中，最后逐一与 need 数组中的最低需求量进行比较。只要有一种维他命不达标，当前组合即为无效。

3. 核心逻辑：DFS 与字典序保证

// 深度优先搜索（DFS）函数，cur 表示当前正在选第几个，cnt 表示总共需要选几个
void dfs(int cur, int cnt){
    if(found) return; // 如果已经找到了最优解，直接剪枝返回
    if(cur > cnt){ // 如果已经选够了 cnt 种饲料，越界收网 
        if(check(cnt)){ // 检查当前方案是否满足维他命需求
            cout << cnt; // 输出最少的饲料种数
            for(int i=1;i<=cnt;i++) cout << " " << path[i]; // 按顺序输出选择的饲料编号          
            found = true; // 标记已找到，后续搜索全部剪枝
        }
        return; // 结束当前递归分支
    }
    // 从上一个选择的饲料编号+1开始枚举，保证选择的饲料编号是递增的（字典序最小）
    // 剪枝：剩下的饲料数量必须足够凑齐 cnt 种
    for(int i = path[cur-1] + 1; i <= g - (cnt - cur + 1) + 1; i++){
        path[cur] = i; // 选择第 i 种饲料
        dfs(cur+1, cnt); // 继续选择下一种
    }
}

• 详细分析：这是代码的灵魂。
  • 字典序保证：for 循环的起始条件 i = path[cur-1] + 1 是核心。它强制要求下一个选择的饲料编号必须大于上一个，从而保证了选出的组合是严格递增的，自然满足字典序最小的要求。
  • 可行性剪枝：循环的终止条件 i <= g - (cnt - cur + 1) + 1 是一个经典的组合数学剪枝。它的意思是：当前还剩 cnt - cur + 1 个位置需要填充，如果从当前位置 i 往后数，剩下的饲料总数不够填满这些位置，那么继续枚举 i 及其后面的数就没有意义了，直接跳出循环。
  • 全局最优剪枝：一旦 check 通过，输出答案并将 found 置为 true，所有的递归层都会因为开头的 if(found) return 而迅速退出。

4. 主函数：迭代加深框架

int main(){ 
    ios::sync_with_stdio(false); 
    cin.tie(0); 
    
    cin >> v; // 读入维他命种类数 v
    for(int i=1;i<=v;i++) cin >> need[i]; // 读入每种维他命的需求量
    cin >> g; // 读入饲料种数 g
    for(int i=1;i<=g;i++){ // 读入每种饲料的维他命含量
        for(int j=1;j<=v;j++) cin >> feed[i][j];   
    }  
    
    // 从小到大枚举需要选择的饲料种数（1种，2种，3种...）
    for(int i=1;i<=g;i++){
        path[0]=0; // 初始化路径起点为 0（保证第一个饲料从 1 开始选）
        dfs(1, i); // 尝试选 i 种饲料
        if(found) break; // 如果找到了，直接跳出循环        
    }
    return 0; 
}

• 详细分析：主函数完美实现了迭代加深的框架。外层 for 循环从 1 到 gg 依次枚举需要选择的饲料数量。path[0]=0 的初始化是为了配合 DFS 中的 path[cur-1] + 1，确保第一种饲料可以从编号 1 开始合法选择。一旦 found 变为真，立刻 break，保证了答案的绝对最优性。

---

核心逻辑总结表

代码模块	核心变量/操作	精炼作用	解决的痛点
迭代加深框架	主函数中的 for(int i=1;i<=g;i++)	从小到大枚举选择的饲料种数	保证了找到的第一个解必然是饲料种数最少的最优解
字典序保证	i = path[cur-1] + 1	强制下一个选择的编号大于上一个	避免了重复组合，并天然保证了输出结果的字典序最小
可行性剪枝	i <= g - (cnt - cur + 1) + 1	限制枚举的上界	当剩余饲料不足以凑齐目标数量时提前终止，大幅减少无效搜索
全局最优剪枝	if(found) return	找到答案后立即停止所有递归	避免了在找到最优解后继续浪费时间去搜索更差或同级的解
合法性验证	check(cnt) 函数	累加维他命并比对最低需求	在搜索树的叶子节点准确判定当前饲料组合是否有效
路径记录	path[N] 数组	记录 DFS 过程中选中的饲料编号	将搜索状态与最终答案的输出完美解耦