P1014 [NOIP 1999 普及组] Cantor 表

记录136

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	int n,a=1,b=1; //n次变动  a是分子，b是分母 
	bool f=1; // 到边界后，true向右边走  false向下走 
	cin>>n; //输入n 
	n=n-1; //第一次已经在1/1位置了，所以实际移动n-1次 
	while(n--){ //开始移动 
		if(a==1&&f){ //到最上面了，向右走 
			b++,f=0; //向右走一格，后面到边界向下走 
		}else if(b!=1&&!f){ //没走到最左边，并且到边界是向下走 
			a++,b--; // 到当前位置的左下位置 
		}else if(b==1&&!f){ //到最左边了 ， 向下走 
			a++,f=1; //向下走，后面到边界向右走 
		}else if(a!=1&&f){ //没走到最上面，并且到边界是向右走 
			a--,b++; //到当前位置的右上位置 
		}
	}
	cout<<a<<"/"<<b<<"\n";//输出 
	return 0;//程序正常结束
}

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题目传送门https://www.luogu.com.cn/problem/P1014

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前言

我是一名专注信奥赛（CSP-J/S、NOIP）的教练。

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• 我深知算法思维的构建远比单纯通过题目更重要，本系列题解不局限于AC代码的堆砌，而是致力于拆解题目背后的逻辑链条与核心知识点
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核心解题思路

这道题是一道经典的找规律与模拟问题。题目要求我们按照“Z字形”遍历一个无限的有理数表，并输出第 N 项。

1. 观察 Z 字形规律：
   我们将有理数表看作一个二维坐标系，分子 a 代表行，分母 b 代表列。观察题目给出的遍历顺序：

   • 1/1 (起点)
   • 1/2 (向右移动)
   • 2/1 (向左下移动)
   • 3/1 (向下移动)
   • 2/2 (向右上移动)
   • 1/3 (向右上移动)
   • 1/4 (向右移动)
     ...

   我们可以发现，移动轨迹只有四种基本状态：

   • 向右平移：当处于第一行且当前方向是向右上时，只能向右走一格，然后方向变为向左下。
   • 向左下斜移：只要不在第一列且方向是向左下，就不断向 a+1, b-1 移动。
   • 向下平移：当处于第一列且当前方向是向左下时，只能向下走一格，然后方向变为向右上。
   • 向右上斜移：只要不在第一行且方向是向右上，就不断向 a-1, b+1 移动。

2. 模拟算法设计：
   由于 N 最大为 10^7，使用 O(N) 的循环模拟是可以接受的。我们只需要设置两个变量 a（分子）和 b（分母），以及一个布尔变量 f 来记录当前是在“向右上走”还是“向左下走”，按照上述四种情况逐步移动 N-1 次即可得到结果。

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代码分块详细解释

1. 头文件、变量定义与初始化

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false); // 关闭标准流同步，提升输入输出效率
    cin.tie(0); // 解除cin与cout的绑定，加快读取速度
    int n, a=1, b=1; // n次变动，a是分子，b是分母 
    bool f=1; // 到边界后，true代表向右边走（向右上），false代表向下走（向左下） 

• 详细分析：这里定义了核心的状态变量。a 和 b 初始化为 1，代表起点 1/1。布尔变量 f 是控制移动方向的关键标志位。f=1 (true) 表示当前的斜线方向是向右上（分子减小，分母增大）；f=0 (false) 表示当前的斜线方向是向左下（分子增大，分母减小）。

2. 输入处理与步数修正

    cin>>n; // 输入n 
    n=n-1; // 第一次已经在1/1位置了，所以实际移动n-1次 

• 详细分析：因为我们的起点 a=1, b=1 已经对应了第 1 项，所以如果要求第 N 项，实际上只需要在起点的基础上再移动 N-1 步。这一步处理避免了循环多执行一次。

3. 核心循环：Z字形移动模拟

    while(n--){ // 开始移动，循环执行 n-1 次
        if(a==1 && f){ // 到最上面了，向右走 
            b++, f=0; // 向右走一格（分母+1），后面到边界向下走（方向变为向左下）
        } else if(b!=1 && !f){ // 没走到最左边，并且到边界是向下走 
            a++, b--; // 到当前位置的左下位置（分子+1，分母-1）
        } else if(b==1 && !f){ // 到最左边了 ， 向下走 
            a++, f=1; // 向下走（分子+1），后面到边界向右走（方向变为向右上）
        } else if(a!=1 && f){ // 没走到最上面，并且到边界是向右走 
            a--, b++; // 到当前位置的右上位置（分子-1，分母+1）
        }
    }

• 详细分析：这是代码的灵魂部分，利用 if-else if 结构完美覆盖了四种移动状态。
  • 状态 1（右上角边界）：a==1 && f。当我们在第一行且原本打算向右上走时，会被边界挡住，此时只能向右平移一格（b++），并且将方向 f 翻转为 0（准备向左下走）。
  • 状态 2（向左下斜移）：b!=1 && !f。只要不在第一列（b!=1）且方向是向左下（!f），就沿着对角线向左下移动（a++, b--）。
  • 状态 3（左下角边界）：b==1 && !f。当我们在第一列且原本打算向左下走时，会被边界挡住，此时只能向下平移一格（a++），并且将方向 f 翻转为 1（准备向右上走）。
  • 状态 4（向右上斜移）：a!=1 && f。只要不在第一行（a!=1）且方向是向右上（f），就沿着对角线向右上移动（a--, b++）。

4. 结果输出

    cout<<a<<"/"<<b<<"\n"; // 输出 
    return 0; // 程序正常结束
}

• 详细分析：循环结束后，a 和 b 中存储的就是第 N 项对应的分子和分母，按照题目要求的格式输出即可。

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 核心逻辑总结表

代码模块	核心变量/操作	精炼作用	解决的痛点
状态初始化	a=1, b=1, f=1	设定起点与初始方向	确立了模拟的基准状态，f=1 代表初始趋势向右上
步数修正	n = n - 1	排除起点占用的第1项	避免循环多执行一次，确保移动次数准确
右上边界处理	if(a==1 && f)	处理第一行的向右平移	解决向右上移动碰到顶墙时的转向与平移问题
左下边界处理	else if(b==1 && !f)	处理第一列的向下平移	解决向左下移动碰到左墙时的转向与平移问题
对角线移动	a++,b-- 与 a--,b++	实现Z字形的斜向遍历	在两个边界之间来回穿梭，完美复刻康托尔表的规律
方向翻转	f=0 与 f=1	切换斜线移动的方向	保证每次碰到边界后，下一次斜移的方向必然改变