P1700 [USACO19OPEN] Milk Factory B

记录137

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=105;// 定义常量N，表示加工站数量的最大范围（题目保证N<=100）
vector<int> g[N];// 定义邻接表g，g[u]存储从结点u出发能直接到达的所有结点
bool vis[N];// 定义访问标记数组，用于DFS时防止重复访问
bool found_target=0; // 定义标志变量，用于在DFS中记录是否成功找到了目标点target
// 深度优先搜索（DFS）函数，从当前结点u出发，寻找目标点target
void dfs(int u,int target){
	if(found_target) return; // 如果之前已经找到了目标点，直接剪枝返回
	if(u==target){ // 如果当前结点u就是目标点target
		found_target=1; // 标记已找到目标点
		return; // 直接返回
	}
	vis[u]=1; // 标记当前结点u已被访问过
	for(int v:g[u]){ // 遍历当前结点u能到达的所有相邻结点v
		if(!vis[v]) dfs(v,target); 
	}// 如果结点v还没有被访问过，继续从v出发进行深搜 
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	int n;// 定义变量n，表示加工站的数量
	cin>>n; // 读入加工站数量n
	int a,b; // 定义变量a和b，用来临时存储每条传送带的起点和终点
	for(int i=1;i<n;i++){ //n-1条边 
		cin>>a>>b; // 读入一条从a指向b的传送带
		g[a].push_back(b);  // 将b加入a的邻接表（表示a能走到b） 
	}
	// 从小到大枚举每一个结点i作为终点
	for(int i=1;i<=n;i++){ 
		bool is_ok=1; // 假设当前目标是合法的
		// 检查所有其他结点j，看是否都能通过DFS走到目标i 
		for(int j=1;j<=n;j++){
			if(j==i) continue;  // 如果j就是目标本身，不需要检查
			memset(vis,0,sizeof(vis)); //走之前重置访问数组 
			found_target=0; // 一开始没找到目标 
			dfs(j,i); // 从结点j出发，尝试寻找目标i 
			if(!found_target){ // 如果从j出发无法走到目标i 
				is_ok=0; // 当前目标不合法
				break; //提前跳出内层循环，检查下一个target 
			}
		}
		if(is_ok){ // 如果当前i满足所有结点都能到达它
			cout<<i<<"\n"; // 输出最小的满足条件的i
			return 0; // 程序直接结束
		}
	}
	cout<<-1; // 如果遍历完所有target都不合法，输出-1
	return 0;//程序正常结束
}

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题目传送门https://www.luogu.com.cn/problem/P1700

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前言

我是一名专注信奥赛（CSP-J/S、NOIP）的教练。

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核心解题思路

这道题是一道典型的图论与暴力枚举结合的问题。

1. 问题转化：
   题目给出了一个包含 NN 个结点和 N−1N−1 条有向边的图（本质是一棵有向树）。我们需要找到一个结点 ii ，使得图中所有其他结点都能通过有向边到达 ii 。如果存在多个这样的结点，输出编号最小的那个；如果不存在，输出 -1。

2. 算法设计（暴力枚举 + DFS）：
   由于题目中 NN 的最大值仅为 100，数据规模非常小。我们可以采用最直观的暴力枚举法：

   • 依次假设每一个结点 ii （从 1 到 NN ）是我们要找的“终点”。
   • 对于每一个假设的终点 ii ，我们从图中的每一个其他结点 jj 出发，使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS），判断是否能沿着有向边到达 ii 。
   • 如果所有结点 jj 都能到达 ii ，那么 ii 就是合法的答案。因为我们是从 1 开始从小到大枚举的，所以找到的第一个合法 ii 必然是最小的。

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 代码分块详细解释

1. 头文件、常量与全局变量定义

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=105; // 定义常量 N，表示加工站数量的最大范围（题目保证 N<=100）
vector<int> g[N]; // 定义邻接表 g，g[u] 存储从结点 u 出发能直接到达的所有结点
bool vis[N]; // 定义访问标记数组，用于 DFS 时防止重复访问
bool found_target=0; // 定义标志变量，用于在 DFS 中记录是否成功找到了目标点 target

• 详细分析：这部分搭建了图论算法的基础。由于是有向图，我们使用 vector<int> g[N] 来构建邻接表，g[a].push_back(b) 表示存在一条从 aa 指向 bb 的单向传送带。vis 数组是 DFS 的标配，防止在图中走环路导致死循环。found_target 是一个全局剪枝变量，一旦在某次 DFS 中找到了目标，就立刻停止后续的搜索，提高效率。

2. 深度优先搜索（DFS）函数

// 深度优先搜索（DFS）函数，从当前结点 u 出发，寻找目标点 target
void dfs(int u, int target){
    if(found_target) return; // 如果之前已经找到了目标点，直接剪枝返回
    if(u == target){ // 如果当前结点 u 就是目标点 target
        found_target = 1; // 标记已找到目标点
        return; // 直接返回
    }
    vis[u] = 1; // 标记当前结点 u 已被访问过
    for(int v : g[u]){ // 遍历当前结点 u 能到达的所有相邻结点 v
        if(!vis[v]) dfs(v, target); 
    } // 如果结点 v 还没有被访问过，继续从 v 出发进行深搜 
}

• 详细分析：这是判断“点 jj 能否到达点 ii ”的核心工具。
  • 剪枝优化：函数开头首先检查 found_target，如果之前的搜索路径已经找到了目标，当前递归分支就没有继续的必要了，直接返回。
  • 命中目标：如果当前遍历到的结点 u 等于目标 target，说明路径打通，将全局标志置为 1 并返回。
  • 递归扩展：如果没有找到目标，就标记当前点已访问，然后遍历它的所有出边。只有当相邻结点 v 未被访问时，才递归进入，这保证了搜索的有限性。

3. 主函数：建图与输入处理

int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    int n; // 定义变量 n，表示加工站的数量
    cin >> n; // 读入加工站数量 n
    int a, b; // 定义变量 a 和 b，用来临时存储每条传送带的起点和终点
    for(int i = 1; i < n; i++){ // n-1 条边 
        cin >> a >> b; // 读入一条从 a 指向 b 的传送带
        g[a].push_back(b);  // 将 b 加入 a 的邻接表（表示 a 能走到 b） 
    }

• 详细分析：标准的 IO 加速和建图过程。题目给出了 N−1N−1 条有向边，我们按照输入顺序，将每条边的终点加入起点的邻接表中，从而构建出完整的有向图。

4. 核心逻辑：枚举终点与合法性检查

    // 从小到大枚举每一个结点 i 作为终点
    for(int i = 1; i <= n; i++){ 
        bool is_ok = 1; // 假设当前目标是合法的
        // 检查所有其他结点 j，看是否都能通过 DFS 走到目标 i 
        for(int j = 1; j <= n; j++){
            if(j == i) continue;  // 如果 j 就是目标本身，不需要检查
            memset(vis, 0, sizeof(vis)); // 走之前重置访问数组 
            found_target = 0; // 一开始没找到目标 
            dfs(j, i); // 从结点 j 出发，尝试寻找目标 i 
            if(!found_target){ // 如果从 j 出发无法走到目标 i 
                is_ok = 0; // 当前目标不合法
                break; // 提前跳出内层循环，检查下一个 target 
            }
        }
        if(is_ok){ // 如果当前 i 满足所有结点都能到达它
            cout << i << "\n"; // 输出最小的满足条件的 i
            return 0; // 程序直接结束
        }
    }
    cout << -1; // 如果遍历完所有 target 都不合法，输出 -1
    return 0; // 程序正常结束
}

• 详细分析：这是算法的主体部分，采用了双重循环。
  • 外层循环（枚举假设）：我们依次假设结点 ii 是那个“所有点都能到达的终点”。因为题目要求输出最小的 ii ，所以我们从 1 开始从小到大枚举，一旦找到合法的就可以直接输出并结束程序。
  • 内层循环（验证假设）：对于当前的假设终点 ii ，我们需要验证图中的每一个其他结点 jj 是否都能到达它。
  • 状态重置：每次从一个新的起点 jj 开始 DFS 之前，必须将访问数组 vis 清零，并将 found_target 重置为 0。这是因为每次 DFS 都是一次全新的探索。
  • 提前终止：如果在验证过程中，发现有任何一个结点 jj 无法到达 ii （即 !found_target），那么当前的 ii 肯定不是答案，直接 break 跳出内层循环，去测试下一个 ii 。这极大地减少了不必要的计算。

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核心逻辑总结表

代码模块	核心变量/操作	精炼作用	解决的痛点
数据结构	vector<int> g[N]	使用邻接表存储有向图	高效存储单向传送带，方便通过起点快速找到所有能直接到达的终点
路径搜索	dfs(u, target)	判断从 u 到 target 是否有通路	解决有向图中两点连通性的判断问题
防死循环	vis[u]=1 与 if(!vis[v])	记录已访问的结点	防止在 DFS 过程中因为图中存在环路或重复路径而导致无限递归
全局剪枝	found_target	记录目标是否已被找到	一旦在 DFS 的某条分支中找到了目标，立即停止所有后续搜索，提升效率
暴力枚举	双重 for 循环	依次假设每个点为终点并验证	利用 N≤100N≤100 的小数据范围，用简单直观的暴力法替代复杂的图论算法