P10721 [GESP202406 六级] 计算得分

记录120

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=30;// 计分序列最大长度 n <= 20
const int MAXM=1e5+10;// 字符串最大长度 m <= 10^5
int a[MAXN],dp[MAXM];// 计分序列 a[i], dp[i] 表示前 i 个字符的最大得分
int main(){// 线性DP 
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	int n,m;
	string s;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
	cin>>m;
	cin>>s;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		// 情况1：第 i 个字符不作为任何计分子串的结尾
		dp[i]=dp[i-1];// 保底策略（不选当前位置）
		// 情况2：尝试以第 i 个字符为结尾，向前匹配 k 个连续的 "abc"
		 // k 代表当前匹配了 k 个 "abc"，每个 "abc" 长度为 3
		for(int k=1;k<=n;k++){
            // 计算当前 k 个 "abc" 的起始位置（在字符串 s 中的下标）
            // i 是第几个字符，对应 s 的下标是 i-1
            // k 个 "abc" 总长度为 3*k，所以起始下标为 (i - 1) - (3 * k - 1) = i - 3 * k
			int start_id=i-3*k;
			// 如果起始位置超出了字符串开头，说明无法凑出 k 个 "abc"，跳出循环
			if(start_id<0) break;
			// 检查从 start_id 开始的 3 个字符是否为 "abc"
            // 如果匹配成功，更新最大得分
            // 得分 = 起始位置之前的最大得分 + 当前 k 个 "abc" 的分数 a[k]
			if(s.substr(start_id,3)=="abc") dp[i]=max(dp[i],dp[start_id]+a[k]);// 进攻策略（尝试用当前位置得分）
            // 如果当前这 3 个字符不是 "abc"，说明无法凑出更长的连续 "abc" 串了
            // 例如想凑 2 个 abc，但倒数第二个 abc 位置不对，那 3 个、4 个肯定也不对
			else break;
		}
	}
	cout<<dp[m]<<"\n";
	return 0;//结束程序 
}

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前言

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题目传送门https://www.luogu.com.cn/problem/P10721

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💡 核心思路分析

1. 题意理解与数学建模

• 目标：在一个字符串中，找出若干个不重叠的、由 kk 个连续的 "abc" 组成的子串，使得这些子串的得分总和最大。
• 计分规则：一个由 kk 个 "abc" 组成的子串得分为 akak​ 。注意， kk 个 "abc" 必须严格连续，且字符不能重复使用（即选取的子串之间不能有交集）。

2. 算法选择：线性动态规划 (DP)

• 题目要求我们在字符串上“切”出若干段合法的子串，这是非常经典的线性 DP / 序列划分模型。
• 状态定义：设 dp[i] 表示处理完字符串的前 i 个字符时，能够获得的最大总得分。
• 状态转移：对于第 i 个字符，我们有两种决策：
  • 决策一（不选）：第 i 个字符不作为任何计分子串的结尾。那么前 i 个字符的最大得分就等于前 i-1 个字符的最大得分，即 dp[i] = dp[i-1]。
  • 决策二（选）：第 i 个字符恰好是某个合法子串的结尾。假设这个子串是由 kk 个 "abc" 组成的（长度为 3k3k ），那么这个子串的起始位置就是 i - 3*k + 1（对应代码中的下标 start_id = i - 3*k）。如果这一段确实是连续的 "abc"，那么 dp[i] 就可以从 dp[start_id] + a[k] 转移而来。我们只需要枚举所有可能的 kk ，取最大值即可。

3. 关键优化：利用连续性剪枝

• 在枚举 kk 时，由于我们要找的是连续的 "abc"，所以当我们检查倒数第 kk 个 "abc" 发现它不是 "abc" 时，就没必要继续检查 k+1,k+2...k+1,k+2... 了，直接 break 跳出循环。这极大地减少了无效的字符串匹配操作。

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📝 代码逐行深度解析

第一部分：头文件、常量与全局变量定义

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=30;       // 计分序列最大长度 n <= 20，开 30 足够
const int MAXM=1e5+10;   // 字符串最大长度 m <= 10^5，防止越界稍微开大一点
int a[MAXN], dp[MAXM];   // a[i] 存储得分为 a_i；dp[i] 表示前 i 个字符的最大得分

解析：这里定义了基础的常量和数组。dp 数组是一维的，因为线性 DP 只需要依赖前面的状态，空间复杂度为 O(m)O(m) 。

第二部分：主函数入口与数据读入

int main(){ 
	ios::sync_with_stdio(false); // 关闭 C++ 标准输入输出流与 C 标准库的同步
	cin.tie(0);                  // 解除 cin 和 cout 的绑定
	int n, m;
	string s;
	cin >> n;                    // 读入计分序列的长度
	for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i]; // 读入每个 k 对应的得分 a_k
	cin >> m;                    // 读入字符串的长度
	cin >> s;                    // 读入字符串

解析：使用了标准的 IO 加速技巧，这在处理高达 105105 级别的数据时非常重要，能有效避免因读写耗时导致的超时（TLE）。

第三部分：DP 状态初始化与保底策略

	for(int i = 1; i <= m; i++){
		// 情况1：第 i 个字符不作为任何计分子串的结尾
		dp[i] = dp[i-1]; // 保底策略（不选当前位置）

解析：外层循环遍历字符串的每一个位置 i。首先执行“决策一”，无论当前位置能否构成 "abc"，我们至少可以继承前一个位置的最优解。这保证了 dp[i] 具有单调不减的性质。

第四部分：枚举连续 "abc" 的个数并尝试状态转移

		// 情况2：尝试以第 i 个字符为结尾，向前匹配 k 个连续的 "abc"
		// k 代表当前匹配了 k 个 "abc"，每个 "abc" 长度为 3
		for(int k = 1; k <= n; k++){
            // 计算当前 k 个 "abc" 的起始位置（在字符串 s 中的下标）
            // i 是第几个字符（从1开始），对应 s 的下标是 i-1
            // k 个 "abc" 总长度为 3*k，所以起始下标为 (i - 1) - (3 * k - 1) = i - 3 * k
			int start_id = i - 3 * k;
			
			// 边界判断：如果起始位置超出了字符串开头，说明无法凑出 k 个 "abc"，跳出循环
			if(start_id < 0) break;

解析：进入内层循环，枚举以当前位置结尾可能包含的 "abc" 的数量 kk 。通过简单的数学推导得出待检查子串的起始下标 start_id，并进行防越界的边界判断。

第五部分：合法性校验、状态更新与剪枝

			// 检查从 start_id 开始的 3 个字符是否为 "abc"
            // 如果匹配成功，更新最大得分
            // 得分 = 起始位置之前的最大得分 + 当前 k 个 "abc" 的分数 a[k]
			if(s.substr(start_id, 3) == "abc") 
                dp[i] = max(dp[i], dp[start_id] + a[k]); // 进攻策略（尝试用当前位置得分）
            
            // 如果当前这 3 个字符不是 "abc"，说明无法凑出更长的连续 "abc" 串了
            // 例如想凑 2 个 abc，但倒数第二个 abc 位置不对，那 3 个、4 个肯定也不对
			else break;
		}
	}
	cout << dp[m] << "\n"; // 输出整个字符串的最大得分
	return 0;              // 结束程序 
}

解析：这是代码的核心灵魂所在。利用 C++ 的 substr 函数快速截取并比对字符串。如果匹配成功，则进行状态转移（dp[start_id] + a[k]）；如果匹配失败，立刻 break 终止内层循环。这种基于连续性的剪枝，让算法在最坏情况下也能保持极高的运行效率。最终，dp[m] 即为所求的全局最优解。