P1887 乘积最大3

记录5

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	if(n%m==0){  //n可以均分在m中
		int cnt=m;	
		while(cnt--){
			cout<<n/m<<' ';
		}
	}else{   //不能均分时，按多的余数再分
		int x=n%m;
		int cnt=m-x;
		while(cnt--) cout<<n/m<<' ';
		while(x--) cout<<n/m+1<<' ';
	}
    return 0;
}

突破点

输出格式

M 个和为 N 的，乘积尽可能的大的正整数。

思路

让m个数都差不多大，这样m个数乘起来的乘积就是最大的，数学证明放在文章末尾补充

代码简解

else{   //不能均分时，按多的余数再分
		int x=n%m;
		int cnt=m-x;
		while(cnt--) cout<<n/m<<' ';
		while(x--) cout<<n/m+1<<' ';
	}

当n个东西能均分在m个盒子中时候，属于简单情况，直接无情输出n/m就行

不能均分时，注意到多出来的余数肯定是不足m个盒子的，所以从后向前摆放就行

多出来的不过是n/m+1

注意点:

        int cnt=m;	
		while(cnt--){
			cout<<n/m<<' ';
		}

在均分情况下，必须用新变量接收m，因为直接使用m计数的话，会导致n/m的值不正确

字典序是从小到大

补充

要理解为什么当数字相近时乘积最大，我们可以从数学的角度进行分析。这个问题可以通过一个简单的数学原理来解释：算术平均数和几何平均数的关系。

算术平均数和几何平均数

对于一组正数 a1​,a2​,…,aM​，它们的算术平均数（Arithmetic Mean, AM）和几何平均数（Geometric Mean, GM）定义如下：

• 算术平均数（AM）：

  AM=

• 几何平均数（GM）：

  GM=

算术平均数和几何平均数的关系

根据算术平均数-几何平均数不等式（AM-GM不等式），对于任意一组正数 a1​,a2​,…,aM​，有：

AM≥GM

等号成立当且仅当所有数都相等，即 a1​=a2​=⋯=aM​。

通俗解释

假设我们有 M 个正整数，它们的和为 N，即：

a1​+a2​+⋯+aM​=N

我们希望最大化它们的乘积：

P=a1​⋅a2​⋅⋯⋅aM​

根据AM-GM不等式，当所有数都相等时，几何平均数达到最大值。换句话说，当所有数都相等时，乘积 P 也达到最大值。

数学推导

假设所有数都相等，即：

a1​=a2​=⋯=aM​=

此时，乘积 P 为：

P=

如果某些数不相等，例如 a1​a2​，则根据AM-GM不等式，乘积会小于上述值。因此，为了最大化乘积，所有数应该尽可能接近。

举例说明

假设 N=10，M=3，我们需要找到3个正整数，它们的和为10，且乘积最大。

1. 数字相近的情况：

   • 选择 3,3,4：

     3+3+4=10             3⋅3⋅4=36

2. 数字不相近的情况：

   • 选择 1,2,7：

     1+2+7=10            1⋅2⋅7=14

可以看到，数字相近时（3, 3, 4）的乘积（36）比数字不相近时（1, 2, 7）的乘积（14）要大。

总结

当数字相近时，乘积最大，因为根据AM-GM不等式，当所有数都相等时，几何平均数达到最大值，从而乘积也达到最大值。