线性代数及应用1.2.3存在与唯一性问题

37今日速递！你们的三七又来啦!

在前面的1.1节我们就讨论过，线性方程组有两个基本的问题，大家是否还有印象呢？

嘿嘿，37这里帮大家回顾一下。

问题1：方程组是否相容，即是否至少有一个解？

问题2：若它有解，它是否只有一个解，即解是否唯一？

这两个问题其实就分别对应着方程组解的存在性问题和唯一性问题。下面37就分别给大伙讲讲。

存在性：

我们拿到一个线性方程组，比如

根据之前讲的基本变量和自由变量，我们可以区分出，X1，X2，X5是基本变量，X3，X4是自由变量。

但是，我们解出的阶梯型中，没有出现像0 = 1的情况，这种情况会造成方程组的不相容，也就是无解。也就是方程组的最右列不是主元列，如果是，则无解（不相容）。

唯一性：

这就很简单啦，只要有至少一个自由变量的存在，那么方程组的解就不止一个。所以要达成唯一性的条件，就是不能有自由变量的产生。

当然，上述的概括并不准确，完整的概括应该为：

当一个方程组化为了阶梯型，并且不包含0 = b(b不等于0）的方程时，

1. 每个非零方程包含一个基本变量且它的系数非0。
2. 基本变量已经完全确定，此时没有自由变量。

那么，这个时候我们就可以说，方程组有唯一解。

All right~，我们现在得到了一个伟大的定理。

定理2：

线性方程组相容的充要条件是增广矩阵的最右列不是主元列，也就是说，增广矩阵的阶梯型没有形如

[0 0 0 ……0 b],b不等于0

的行。

若方程组相容，它的解集有两种情况：

1. 当没有自由变量的时候，有唯一解。
2. 当至少有一个自由变量的时候，有无穷多个解。

好啦，我们下面来看一道很经典的例题。

试着确定h和k的值，使得方程组

（a 无解

（b 有唯一解

（c 有多解

下面是我们给定的方程组：

你们也来试试看吧(来自尼尔叔叔的鼓励~)