【BZOJ】3026: 楼梯染色-卡特兰数&卢卡斯定理&CRT

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博客介绍了BZOJ3026题目，涉及楼梯柱状图的覆盖方案计数问题。通过卡特兰数公式(f(n) = (nn+n) - (n-1n+n))解决，并利用卢卡斯定理在模意义下求解，结合中国剩余定理(CRT)完成最后的计算。

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传送门:bzoj3026

题解

题意不清楚，解释一下：

对于一个高度为 $n$ 的阶梯柱状图：
x
xx
xxx
求用 $n$ 个长方形覆盖全图(不重叠，且完全覆盖)的总方案数 $f (n)$ ，答案即 $K^{f(n)}$

每行最后一个方格显然是属于不同长方形的，考虑染了最上一行后的变化情况：

A
AB
CCC

假设选择的是A区域这个长方形，显然接下来不能存在长方形跨过BC区域。

所以方案数 $f(n)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}f(i)f(n-1-i)$

所以 $f (n)$ 为卡特兰数 $\binom {n+n}{n}-\binom{n+n}{n-1}$

接下来就是求解 $f(n)\pmod {\varphi( mod)}$ 的值，将 $\varphi( mod)$ 质因数分解后以每个质因数为模卢卡斯定理求出 $\binom {n+n}{n}$ 和 $\binom {n+n}{n-1}$ ，再CRT合并即可。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1000000123,N=1e5+10,M=mod-1;
typedef long long ll;
const int mo[6]={2,3,11,2089,7253},w=5;

int n,K,ans,frc[10000],bs,p;

inline int sqr(int x){return (ll)x*x%p;} 

inline int fp(int x,int y)
{
	int re=1;
	for(;y;y>>=1,x=(ll)x*x%p)
	 if(y&1) re=(ll)re*x%p;
	return re;
}

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	if(!b) 	{x=1;y=0;return;}
	exgcd(b,a%b,y,x);y-=(a/b)*x;
}

inline int inv(int n)
{
	int x,y;
	exgcd(n,p,x,y);
	return (x%p+p)%p;
}

inline int C(int n,int m)
{
	if(m>n) return 0;
	int i,re=1,x,y;
	for(i=1;i<=m;++i){
		x=(ll)(n-i+1)*inv(i)%p;
		re=(ll)re*x%p; 
	}
	return re;
}

inline int lucas(int n,int m)
{
	if(!m) return 1;
	if(n<p) return C(n,m); 
    return (ll)lucas(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p;
}

int sol(int n)
{return (lucas(n+n,n)-lucas(n+n,n-1)+M)%M*(ll)(M/p)%M*(ll)fp((M/p)%p,p-2)%M;}

int main(){
	int i;
	while(scanf("%d%d",&n,&K)!=EOF){ 
	for(ans=i=0;i<5;++i) {p=mo[i];ans=(ans+sol(n))%M;}
	  p=mod;printf("%d\n",fp(K,ans));
	} 
	return 0;
}