【模板】弦图判定&最小染色(MCS)

本文总结了弦图的概念,包括定义、性质、判定方法和最小染色算法。弦图的最大团数等于最小色数,可以利用完美消除序列进行判定。最大势算法MCS用于求解完美消除序列,而最小染色问题也可通过MCS解决。

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弦图与区间图总结-DZYO(定义)
弦图 完美消除序列 MCS算法(代码)

省选前为什么要开这种奇奇怪怪的知识点
具体定义和证明较略,主要记录实现方法。


定义

弦就是连接环上两个不相邻点的边。弦图满足图中任意长度>3的环都至少有一个弦(递归下去就是一个三角剖分的图)

单纯点:
v v v是单纯点当且仅当 v v v和其相邻的点集 N ( v ) N(v) N(v)构成的原图的诱导子图是完全图。

性质

普通图:
最大团数 ≤ \leq 最小色数
最大独立集 ≤ \leq 最小团覆盖

弦图:
最大团数=最小色数
最大独立集=最小团覆盖

完美消除序列:
原图的一个点序列 v 1 , v 2 , . . . , v n v_1,v_2,...,v_n v1,v2,...,vn(每个点都出现恰好一次),满足 v i v_i vi v i , v i + 1 , . . . , v n v_i,v_{i+1},...,v_n vi,vi+1,...,vn的诱导子图中为一个单纯点。

定理:一个无向图是弦图当且仅当它有一个完美消除序列。


判定

由定理:“一个无向图是弦图当且仅当它有一个完美消除序列”。
考虑求出一个序列并验证其是否为完美消除序列。

最大势算法MCS

倒序求出 v n , . . . , v 1 v_n,...,v_1 vn,...,v1(逐个标出 n − 1 n-1 n1),设 f i f_i fi表示点 i i

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