【总结】从诗人小G谈DP的四边形不等式优化

最新推荐文章于 2024-06-22 15:11:29 发布
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本文介绍了四边形不等式及其在动态规划（DP）中的应用。通过讨论一维和二维DP的决策单调性，展示了如何利用四边形不等式优化算法，提高求解复杂度，如在一维DP中使用单调队列实现O(nlogn)的复杂度，以及在二维DP中优化石子合并问题达到O(n^2)的复杂度。

传送门：bzoj1563

四边形不等式

设 w ( x , y ) w(x,y) w(x,y)是定义在整数集合上的二元函数。若对于定义域上的任何整数， a , b , c , d ( a ≤ b ≤ c ≤ d ) a,b,c,d(a\leq b\leq c\leq d) a,b,c,d(a≤b≤c≤d)， ∃ \exist ∃ w ( a , d ) + w ( b , c ) ≥ w ( a , c ) + w ( b , d ) w(a,d)+w(b,c)\geq w(a,c)+w(b,d) w(a,d)+w(b,c)≥w(a,c)+w(b,d)。则称函数 w w w满足四边形不等式。

一维DP的决策单调性

对于一维线性状态转移方程：
d p i = m i n j = 0 i − 1 ( d p j + v a l ( j , i ) ) dp_i=min_{j=0}^{i-1}(dp_j+val(j,i)) dpi​=minj=0i−1​(dpj​+val(j,i))
若函数 v a l val val满足四边形不等式，则称 d p dp dp具有决策单调性。

而在bzoj1563诗人小G中，转移方程如下：
设 d p i dp_i dpi​表示前 i i i句是排版后最小不协调度， l e n i len_i leni​为第 i i i句诗的长度， s u m i sum_i sumi<

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