【模板】卢卡斯与拓展卢卡斯

最新推荐文章于 2023-02-24 19:29:46 发布

ccosi

最新推荐文章于 2023-02-24 19:29:46 发布

阅读量257

点赞数

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏： -------MATH------- ---组合数学--- 卢卡斯定理

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/corsica6/article/details/83387154

-------MATH------- 同时被 3 个专栏收录

80 篇文章

订阅专栏

---组合数学---

15 篇文章

订阅专栏

卢卡斯定理

3 篇文章

订阅专栏

本文详细解析了Lucas定理及其扩展ExLucas算法，用于解决组合数在大模数下求解的问题。通过分解质因数和应用中国剩余定理(CRT)，实现了高效的大模数组合数计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

LUCAS

$mod  p\dbinom n m\equiv \dbinom{\lfloor\dfrac{n}{p}\rfloor}{\lfloor\dfrac{m}{p}\rfloor}·\dbinom{n\% p}{m\%p} \ \mod p$

EXLUCAS

设模数为 $P(P=p_1^{k_1}p_2^{k_2}...p_n^{k^n}),p_i$ 为互不相同的质数。
首先分别求出 $xi=(nm)mod  pikix_i=\dbinom n m\mod p_i^{k_i}$ 。
问题便转换成了求解： $x≡ximod  pikix\equiv x_i\mod p_i^{k_i}$ 。套用CRT解决。

那么问题在于如何快速求出所有的 $(nm)mod  piki\dbinom n m\mod p_i^{k_i}$ 。

当 $k_i=1$ 时，套用LUCAS。

当 $k_i>1$ 时， $(nm)=n!m!(n−m)!\dbinom n m=\dfrac{n!}{m!(n-m)!}$ 无法对质数的次幂快速取模，考虑分别对 $n!, m!, (n - m)!$ 进行拆分取模，最终答案即为 $n!×inv(m!,piki)×inv((n−m)!,piki)n!\times inv(m!,p_i^{k_i})\times inv((n-m)!,p_i^{k_i})$ ( $i n v (x, p)$ 表示 $x$ 在模 $p$ 意义下的逆元，exgcd求解)。

拆分取模方式如下：

假设当前 $p_i=3,k_i=2,P=3^2$ ，求解 $19!mod  P19!\mod P$ 。

$19!=(1×2×4×5×7×...×14×16×17×19)×(36)×(1×2×3×4×5×6)19!=(1\times2\times4\times5\times7\times...\times14\times16\times17\times 19)\times(3^{6})\times(1\times2\times3\times4\times5\times6)$

对于第一部分 $1×2×4×5×7×8≡10×11×13×14×16×17mod  P1\times2\times 4\times 5\times 7\times 8 \equiv10\times11\times13\times14\times16\times17\mod P$ ，等价于 $(∏i=1,i∤piP−1i)⌊nP⌋mod  P(\prod\limits_{i=1,i\nmid p_i}^{P-1}i)^{\lfloor{\frac{n}{P}}\rfloor}\mod P$ ，剩余的数必然少于 $P$ 个，而将右边的 $⌊npi⌋!\lfloor{\frac{n}{p_i}}\rfloor!$ 递归下去求解即可。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define debug(x) cerr<<#x<<":"<<x<<endl
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=5010;

ll n,m,p,q[N],a[N];
int tot;

namespace exlucas{
    
    inline int fp(ll x,ll y,ll p)
    {
        ll re=1;
        for(;y;y>>=1,x=x*x%p) 
         if(y&1) re=re*x%p;
        return re;
    }
    
    ll exgcd(ll n,ll m,ll &x,ll &y)
    {
        if(!m) 
          {x=1;y=0;return n;}
        ll re=exgcd(m,n%m,y,x);y-=(n/m)*x;
        return re;
    }
    
    inline ll inv(ll n,ll p)
    {
        ll x,y;
        exgcd(n,p,x,y);
        return (x%p+p)%p; 
    }
    
    inline ll C(ll n,ll m,ll p)
    {
        if(m>n) return 0;
        ll re=1,x,y,z,i;
        for(i=1;i<=m;++i){
            x=n-i+1;y=(int)inv(i,p);
            re=re*x%p*y%p; 
        }
        return re;
    }
    
    ll lucas(ll n,ll m,ll p)
    {
        if(m==0 || n==m) return 1;
        return lucas(n/p,m/p,p)*C(n%p,m%p,p)%p;
    }
    
    ll cal(ll n,ll a,ll b,ll p)
    {
        if(!n) return 1;
        ll i,j,re=1;
        for(i=1;i<p;++i) if(i%a) re=re*i%p;
        re=fp(re,n/p,p);
        for(i=n/p*p+1;i<=n;++i) if(i%a) re=re*i%p;
        return re*cal(n/a,a,b,p)%p;
    }
    
    inline ll multilucas(ll n,ll m,ll a,ll b,ll p)
    {
        ll i,s=0;
        for(i=n;i;i/=a) s+=i/a;
        for(i=m;i;i/=a) s-=i/a;
        for(i=n-m;i;i/=a) s-=i/a;
        return fp(a,s,p)*cal(n,a,b,p)%p*inv(cal(m,a,b,p),p)%p*inv(cal(n-m,a,b,p),p)%p;
    }
    
    inline ll cal(ll n,ll m,ll p)
    {
    	ll i,j,b,c,d,ans,mod,x,y;
    	for(i=2;i*i<=p;++i)
    	 if(p%i==0){
    	 	q[++tot]=1;
    	 	for(j=0;p%i==0;p/=i) q[tot]*=i,j++;
            if(j==1) a[tot]=lucas(n,m,i);
            else a[tot]=multilucas(n,m,i,j,q[tot]);
    	 }
    	if(p>1){q[++tot]=p;a[tot]=lucas(n,m,p);}
        ans=a[1];mod=q[1];
        for(i=2;i<=tot;++i){
        	b=exgcd(mod,q[i],x,y);
        	c=a[i]-ans;
        	if(c%b) return -1LL;
        	d=q[i]/b;x=((c/b)%d*x%d+d)%d;
        	ans=ans+mod*x;
        	mod=mod/b*q[i];
        }
        return ans;
    }
}

int main(){
    scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&p);
    printf("%lld\n",exlucas::cal(n,m,p));
    return 0;
}