图像处理与编码技术解析

1、存储一个1024×1024、12位的灰度图像需要多少位？

对于 $ M \times N $ 的图像，若用 $ k $ 位存储每个像素，则存储整个图像所需的总位数为 $ M \times N \times k $。

这里 $ M = 1024 $，$ N = 1024 $，$ k = 12 $，所以所需位数为
$$ 1024 \times 1024 \times 12 = 12582912 \text{ 位} $$

2、将连续图像转换为数字图像的过程是否可逆？为什么？如果想恢复出接近原始连续图像的图像，可以使用什么方法？

将连续图像转换为数字图像的过程不可逆，因为这是一个多对一的映射。在将模拟图像转换为数字形式时，会在某些点对图像进行采样，从而丢失中间点的信息。若想恢复出接近原始连续图像的图像，可以使用插值方法来获取未采样的中间点的强度值。

3、二维码和光学标记识别（OMR）纸角落的黑色方块有什么作用？程序如何计算OMR纸上涂黑圆圈的坐标？

二维码和OMR纸角落的黑色方块用于确定图像的方向。程序计算OMR纸上涂黑圆圈坐标时，先扫描并数字化OMR纸，然后搜索涂黑的圆圈，再以其中一个黑色方块为原点，利用其他方块确定坐标轴方向，最后据此计算涂黑圆圈的坐标。

4、a) 如何从概率分布函数 ∫₀¹ p(r) dr = ∫₀¹ A sin(r) dr = 1 这个条件中求出 A 的值？b) 获得均匀直方图所需的变换是什么？

a) 首先对
$$
\int_0^1 A \sin(r) \, dr
$$
进行积分，根据积分公式
$$
\int \sin(r) \, dr = -\cos(r) + C，
$$
可得
$$
\int_0^1 A \sin(r) \, dr = A[-\cos(r)]_0^1 = A(-\cos(1) + \cos(0)) = A(1 - \cos(1))。
$$
因为
$$
\int_0^1 A \sin(r) \, dr = 1，
$$
所以
$$
A(1 - \cos(1)) = 1，
$$
那么
$$
A = \frac{1}{1 - \cos(1)}。
$$

b) 对于连续灰度级图像，假设输入图像灰度级 $ r $ 从 0 到 1 连续变化，输出图像灰度级 $ s $ 也从 0 到 1 变化，期望 $ s $ 有均匀概率分布即 $ p(s) = 1 $。根据
$$
p(r)dr = p(s)ds
$$
且 $ p(s) = 1 $，对其两边积分可得
$$
s = \int_0^r p(r) \, dr，
$$
这就是连续情况下获得均匀直方图的变换。

对于离散图像，通过
$$
\sum_0^k \frac{n(r)}{N} = \sum_0^{k’} \frac{n(z)}{N}
$$
或
$$
\sum_0^k \frac{n(z)}{N} \geq \sum_0^{k’} \frac{n(r)}{N}
$$
迭代实现，即对于每个 $ k $ 值，寻找满足不等式的最小 $ k’ $ 值来确定映射。

5、连续图像转换为数字图像是否可逆？为什么？如果想恢复接近原始连续图像的图像，应该怎么做？

连续图像转换为数字图像是不可逆的，因为这是一个多对一的映射。在将模拟图像转换为数字形式时，会在某些点对图像进行采样，从而丢失中间点的信息。

若想恢复接近原始连续图像的图像，可以使用插值法来获取未采样的中间点的强度值。

6、二维码和光学标记识别（OMR）表格角落的黑色方块有什么作用？OMR表格是如何处理的，以及如何计算涂黑圆圈的坐标？

二维码和OMR表格角落的黑色方块用于确定图像的方向。OMR表格的处理过程是先进行扫描和数字化，然后程序会搜索被涂黑的圆圈，以角落的黑色方块为参考来计算涂黑圆圈的坐标：

• 将其中一个黑色方块作为原点；
• 其他方块用于确定坐标轴的方向。

7、a) 根据概率分布函数应归一化的条件，即∫₀¹ p(r)dr = ∫₀¹ A sin(πr)dr = 1，求A。b) 求获得均匀直方图所需的变换。c) 绘制上述得到的变换函数。

a) 对积分
$$
\int_0^1 A \sin(\pi r) \, dr
$$
进行计算：

$$
\int_0^1 A \sin(\pi r) \, dr = A \int_0^1 \sin(\pi r) \, dr
$$

令 $ u = \pi r $，则 $ du = \pi dr $，当 $ r = 0 $ 时，$ u = 0 $；当 $ r = 1 $ 时，$ u = \pi $。则积分变为：

$$
\frac{A}{\pi} \int_0^\pi \sin(u) \, du
$$

计算得：

$$
\int_0^\pi \sin(u) \, du = -\cos(u) \Big|_0^\pi = -(\cos(\pi) - \cos(0)) = -(-1 - 1) = 2
$$

因此：

$$
\frac{A}{\pi} \times 2 = 1 \quad \Rightarrow \quad A = \frac{\pi}{2}
$$

---

b) 直方图均衡化的变换函数为：

$$
s = T(r) = \int_0^r p_r(w) \, dw
$$

已知：

$$
p_r(r) = \frac{\pi}{2} \sin(\pi r)
$$

则：

$$
s = T(r) = \int_0^r \frac{\pi}{2} \sin(\pi w) \, dw
$$

令 $ u = \pi w $，$ du = \pi dw $，积分变为：

$$
\frac{1}{2} \int_0^{\pi r} \sin(u) \, du = \frac{1}{2} \left[ -\cos(u) \right]_0^{\pi r} = \frac{1 - \cos(\pi r)}{2}
$$

---

c) 绘制函数
$$
s = \frac{1 - \cos(\pi r)}{2}
$$ <