26、亚历山大罗夫空间中的良构性与数字表面上的热核拉普拉斯 - 贝尔特拉米算子

亚历山大罗夫空间中的良构性与数字表面上的热核拉普拉斯 - 贝尔特拉米算子

1. 亚历山大罗夫空间中的良构性相关引理与命题

1.1 引理 8

设 $S$ 是 $\mathbb{Z}^n$ 中维度 $k \geq 2$ 的块。令 $p$ 和 $p’$ 是 $S$ 中的两个对立点，$v$ 是 $S$ 中 $p$ 的一个 $2n$ - 邻点。则有如下关系：$H_n(p) \land H_n(p’) \in \alpha(H_n(p) \land H_n(v))$。
证明过程基于引理 4 可知 $H_n(p) \land H_n(p’)$ 和 $H_n(p) \land H_n(v)$ 是良定义的，再结合引理 3 对相关项进行转化，通过对不同情况的分析得出该关系成立。

1.2 关于 $n$ - 曲面的命题

命题 3

设 $|X| = (X, \alpha_X)$ 和 $|Y| = (Y, \alpha_Y)$ 是两个 $n$ - 曲面，$n \geq 0$。若 $|X|$ 是 $|Y|$ 的子序，则 $|X| = |Y|$。
证明采用归纳法：
- 初始化（$n = 0$）：当 $|X|$ 和 $|Y|$ 是两个 0 - 曲面时，由于它们具有相同的基数，$X \subseteq Y$ 直接意味着 $X = Y$，进而 $|X| = |Y|$。
- 遗传性（$n \geq 1$）：假设当两个 $(n - 1)$ - 曲面满足包含关系时它们相等。对于两个 $n$ - 曲面 $|X|$ 和 $|Y|$，$n \geq 1$，若 $|X|$ 是 $|Y|$ 的子序，通过一系列推理得出 $X = Y$，从而 $