19、二维和三维最密格上的莫耶特变换及模糊方向交织景观研究

二维和三维最密格上的莫耶特变换及模糊方向交织景观研究

1. 最密格与莫耶特变换基础

1.1 最密格的特性

在二维和三维空间中，$A_n$ 是最密格。其中，$A_3$ 也被称为面心立方晶格（FCC）。$A_2$ 和 $A_3$ 晶格的密度分别为 $\Delta_{A2} = \frac{\pi}{\sqrt{12}} = 0.9069…$ 和 $\Delta_{A3} = \frac{\pi}{\sqrt{18}} = 0.7405…$。$A_2$ 晶格自同构群的置换集基数为 16，去除符号变化后，还剩下 6 种对称性；$A_3$ 晶格自同构群的置换集基数为 48，去除符号变化后，剩下 12 种对称性。

1.2 哈罗斯 - 法里序列

哈罗斯 - 法里序列用于给出中心正方形或立方体中的有理角度集合，该序列可用于枚举莫耶特变换（MT）的投影（直至可重构条件）。
- 二维情况 ：$N$ 阶哈罗斯 - 法里序列 $F_N$ 是介于 0 和 1 之间的不可约分数的有序序列，其分母小于或等于 $N$。从 $F_N$ 得到 $F_{N + 1}$ 的方法是，在 $F_N$ 的每对分数 $\frac{a_1}{b_1}$ 和 $\frac{a_2}{b_2}$ 之间插入一个中间分数 $\frac{a_{12}}{b_{12}}$，其中 $a_{12} = a_1 + a_2$，$b_{12} = b_1 + b_2$，前提是 $a_{12} < N + 1$ 且 $b_{12} < N + 1$。例如：
- $F_1 = \left{\frac{0}{1}, \frac{1}{1}\right}$ <