11、三角网格上数字圆盘的整数规划表征方法

三角网格上数字圆盘的整数规划表征方法

1. 距离性质与三角网格简介

在数字几何领域，距离的计算是一个重要的研究方向。对于最小加权路径的计算，通常可以使用 Dijkstra 算法。不过，在具有规则结构的网格中，借助合适的坐标系，还可以通过直接公式来计算。在三角网格中，根据所使用权重的关系不同，存在多种情况，以下是不同元素间距离 (d(p, q; α, β, γ)) 的计算总结：
| 元素关系 | 情况 | 两个六边形间 | 六边形与三角形间 | 两个三角形间 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| | 4.1: (2α ≤β, γ) | (α \sum |w(i)|) | - | - |
| | 4.2: (γ ≤2α ≤β) | (γ \min{|w(i)|} + α (\sum |w(i)| - 2 \min{|w(i)|})) | 子情况 | 子情况 |
| | 4.3, 4.4: (β ≤γ, 2α > β) | (\sum |w(i)|) | (\frac{β}{2} \sum |w(i)| - \frac{1}{2} + α) | 子情况 |
| | 4.5: (γ ≤β ≤2α) | 子情况 | 子情况 | 子情况 |

对于数字距离的度量性，一个距离函数 (d(·, ·)) 若满足正定性、对称性和三角不等式这三个性质，那么它就是一个度量。在某些应用中，使用度量距离非常重要。对于加权距离 (d(·, ·; α, β, γ))，其中 (α, β, γ ∈R+)，它是一个度量。

关于距离函数的平移不变性，有如下定理：设 (t = (x, y, z)) 是一个网格向量（