8、最小障碍距离与二维数字对象凸性保持的研究进展

最小障碍距离与二维数字对象凸性保持的研究进展

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最小障碍距离（MBD）在图像处理领域有着重要的应用。其基本概念易于理解，对于彩色图像也能直接定义。不过，MBD的理论却十分复杂，蕴含着许多有趣且令人意外的结果，例如两种公式 ρ 和 ϕ 之间的等价性。

1. 误差-free条件
   - 对于整数取值的二维图像 ( \tilde{f} ) 在矩形域 ( \tilde{D} ) 上，如果 ( \max {|\tilde{f}(x)-\tilde{f}(y)|:x,y\in\tilde{D} \text{ 是 }(3n - 1)\text{-相邻}}=1 )（即定理3中的 ( \epsilon ) 为1），并且种子点集是 ( \alpha ) - 连通集，那么通过Dijkstra近似算法在 ( \tilde{f} ) 上得到的距离图的绝对误差为0。
2. 精确距离变换计算方法
   - 简单但低效的方法 ：对于一般图像，高效计算精确离散MBD并非易事。不过，检查数字空间中两点在给定区间内是否存在路径相对容易，即对图像在区间的上下限进行阈值处理，然后检查这两点在所得连通区域中是否相连。对于给定的种子点，计算每个区间经过上述阈值处理后与之相连的点集，种子点与另一点的距离就是所有使它们相连的区间的最小值。
   - 稍高效的方法 ：遍历区间的所有可能下限，从给定种子点计算极大极小变换，然后通过对所得距离图进行最小操作得到最小障碍距离。
   - 优化方法 ：通过有效