3、数据挖掘与机器学习算法中的优化与数学基础

数据挖掘与机器学习算法中的优化与数学基础

1. 优化方法

在优化问题中，我们常常需要寻找目标函数的最优解。不同的优化方法适用于不同类型的约束条件和目标函数。

1.1 拉格朗日乘数法

拉格朗日乘数法是一种强大的优化方法，它可以解决带有等式约束的优化问题。假设我们要最小化一个函数 (f(x))，其中 (x = (x_1, \cdots, x_n)^T \in R^n)，同时满足非线性等式约束 (h(x) = 0)。我们可以将目标函数 (f(x)) 和等式约束结合起来，形成一个新的函数，称为拉格朗日函数：
[
\mathcal{L} = f(x) + \lambda h(x)
]
其中 (\lambda) 是拉格朗日乘数，是一个待确定的未知标量。这个方法的美妙之处在于，它将有约束的优化问题转化为了无约束的问题。

如果有 (M) 个等式约束 (h_j(x) = 0)（(j = 1, \cdots, M)），则需要 (M) 个拉格朗日乘数 (\lambda_j)（(j = 1, \cdots, M)），此时拉格朗日函数为：
[
\mathcal{L}(x, \lambda_j) = f(x) + \sum_{j = 1}^{M} \lambda_j h_j(x)
]
通过对拉格朗日函数求偏导数并令其为 0，可以得到 (M + n) 个方程，这些方程可以确定 (n) 维向量 (x) 和 (M) 个拉格朗日乘数。

下面通过一个例子来说明拉格朗日乘数法的应用。对于函数 (f(x, y) = x^3 - 3xy^2)，它没有唯一的最大值或最小值，点 (x = y = 0) 是