算法复杂度的渐近表示法（详细版）

一个算法的时间复杂度，指算法运行的时间。

假设数据输入规模是n，算法的复杂度可以表示为f(n)的函数

一。大O记号

假设f(n)和g(n)的定义域是非负整数，存在两个正整数c和n0，使得n>n0的时候，f(n)≤c*g(n),则f(n)=O(g(n))。可见O(g(n))可以表示算法运行时间的上界。O(g(n))表示的函数集合的函数是阶数不超过g(n)的函数。

例如：f(n)=2*n+2=O(n)

证明：当n>3的时候，2*n +2<3n，所以可选n0=3,c=3，则n>n0的时候，f(n)<c*(n)，所以f(n)=O(n)。

现在再证明f(n)=2*n+2=O(n^2)

证明：当n>2的时候，2*n+2<2*n^2，所以可选n0=2,c=2,则n>n0的时候，f(n)<c*(n^2)，所以f(n)=O(n^2)。

同理可证f(n)=O(n^a)，a>1

二。Ω记号

Ω记号与大O记号相反，他可以表示算法运行时间的下界。Ω（g（n））表示的函数集合的函数是所有阶数超过g(n)的函数。

例如：f(n)=2*n^2+3*n+2=Ω(n^2)

证明：当n>4的时候，2*n^2+3*n+2>n^2，所以可选n0=4,c=1,则n>n0的时候，f(n)>c*(n^2)，所以f(n)=Ω(n^2)。

同理可证f(n)=Ω(n),f(n)=Ω(1)

三。Θ记号

Θ记号介于大O记号和Ω记号之间。他表示，存在正常数c1,c2,n0，当n>n0的时候，c1*g(n)≤f(n)≤c2*g(n)，则f(n)=Θ(g(n))。他表示所有阶数与g(n)相同的函数集合。

四。小o记号

f(n)=o(g(n))当且仅当f(n)=O(g(n))且f(n)≠Ω(g(n))。也就是说小o记号可以表示时间复杂度的上界，但是一定不等于下界。

五。例子

假设f(n)=2n^2+3n+5，

则f(n)=O(n^2)或者f(n) = O(n^3)或者f(n)=O(n^4)或者……

f(n)=Ω(n^2)或者f(n)=Ω(n)或者f(n)=Ω(1)

f(n)=Θ(n^2)

f(n) = o(n^3)或者f(n)=o(n^4)或者f(n)=o(n^5)或者……

注：n^2表示n的平方，以此类推。