傅里叶级数

傅里叶级数的理解与简单推导

这次的内容是有关傅里叶级数的，本文重点在于理解傅里叶级数的思想，对于公式的推导仅作泛泛而谈，如有不严谨之处还望大家莫怪。在正式推导公式之前我想先简单的谈一谈对函数进行傅里叶级数展开有何意义，也即为什么我们要将一个函数进行傅氏变换？
分解与合成是一种朴素的思想，有的时候可以将一个复杂的问题分解成若干个小问题逐个击破，当每一个小的问题解决以后，大的问题也就随之解决。傅里叶变换也是基于这个思想的，它可以将一个函数$f(x)$分解成若干正弦、余弦函数的和，从而使得原有的一些运算变得更加简洁。傅氏变换是一门数学分支的基础，它就是调和分析，我国著名数学家华罗庚先生认为，把已知函数展开成傅里叶级数的运算就叫做调和分析，调和分析也正是从傅里叶级数和傅里叶变换开始发展壮大起来的。我们知道，一般函数可以展开成泰勒级数的形式，我们不禁要问道，除了泰勒级数这种展开的方式以外，还有没有其他的级数展开方式？答案是肯定的。1807年，法国数学家Baron Jean Baptiste Joseph Fourier在求解热传导方程的时候，发现解函数可以由三角函数构成级数形式表示从而提出函数可以展开成三角级数的无穷级数，这一发现极大地推动了偏微分方程编值问题的研究，Fourier于1822年出版了专著《热的解析理论》，这部著作将Euler、Bernoulli等人运用三角级数的方法发展成内容丰富的一般理论。不得不说的是，傅里叶变换是求解微分方程数值 解的有力工具，这是由三角函数的微积分不变性所决定的，即若对正余弦函数求导，仅仅改变其幅值和相位，而不改变其原有的函数形状。下面我们就来看一下如何将函数进行傅里叶展开。
我们可以先做一些简单尝试，将问题简化。考虑有如下函数$f(x)$，在$[a,b]$上连续，如果要用不同的余弦函数对其进行累加，设有如下形式：
$$f(x)=a_{0}cos(k_{0}x)+a_{1}cos(k_{1}x)+a_{2}cos(k_{2}x)+...+a_{n}cos(k_{n}x)(1)$$

其中，$a_i(i=0,1,2,..,n)$为各个余弦函数前的系数，这些系数都是未知的。$k_i(i=0,1,2,...,n)$是各余弦函数的角频率，这里我们假设$k_i>0$ 并且不存在相同的两个或者多个角频率。为了简化分析，我们假设余弦函数的初始相位都为0。一旦选定一组{ ki}\{k_i\}{ ki​}，也就意味着各余弦函数确定下来，我们的目的就变成了求未知系数{ ai}\{a_i\}{ ai​}。我们可以在区间$[a,b]$上任取$m(m=n+1)$个互不相同的数，并且记他们的值分别$x_1,x_2,x_3,...,x_m$。将这些值分别代入式(1)中我们就得到了如下的方程组：
$$\{\begin{array}{c}f(x_1)=a_{0}cos(k_0{x}_1)+a_{1}cos(k_1{x}_1)+...+a_{n}cos(k_n{x}_1)\\ f(x_2)=a_{0}cos(k_0{x}_2)+a_{1}cos(k_1{x}_2)+...+a_{n}cos(k_n{x}_2)\\ ⋮\\ f(x_m)=a_{0}cos(k_0{x}_m)+a_{1}cos(k_1{x}_m)+...+a_{n}cos(k_n{x}_m)\end{array}(2)$$
这相当于有$n+1$个方程来求解$n+1$未知数。方程组可以写成如下矩阵形式：
$$(\begin{array}{cc}cos(k_0{x}_1)& cos(k\\ cos(k_0{x}_2)& \\ ⋮& \\ cos(k_0{x}_m)& \end{array}$$