计算汉诺塔移动次数与递归编程实现

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#算法

本文介绍了汉诺塔问题及其解决方案，通过递归算法计算移动次数。递归公式为F(n)=2*F(n-1)+1，并提供了相应的递归程序实现。通过汉诺塔问题，详细解释了递归的工作原理，以及如何将复杂问题简化为已知情况。

汉诺塔与递归

1.汉诺塔

 

 

规则如下：

在小圆盘上不能放大圆盘，在三根柱子之间一次只能移动一个圆盘.

圆盘从上到下一次标记为1、2、3.....n.

情况1：假设只有1个圆盘则只需要从A移动到C，总共移动1次。

情况2：假设只有2个圆盘则只需要把第1个移动到B，然后把第2个移动到C，最后再把第1个移动到C，总共移动3次。

情况3：**假设有3个圆盘则只需要把第1个移动到C，把第2个移动到B，再把第1个移动到B，接着把第3个移动到C，再把第1个移动到A，再把第2个移动到C，最后把第1个移动到C，总共7步。

......

可以从假设有2个圆盘和假设有3个圆盘这两种情况的移动步骤中总结出一个规律：

类比情况3和情况2，可以把情况3步骤简化为3步，想象第1个和第2个是一个整体，然后与第3个组成2个圆盘就变成了情况2，第一步把第1个和第2个这个整体放倒B柱上，第二步把第1个放到C柱上，第三步把第1个和第2个这个整体放到C柱上就完成。

可能会有疑问为什么把第1个和第2个看做一个整体，注意我们这里是简化它的步骤，回到情况3，执行到第3步的时候是不是就相当于类比中第一步把第1个和第2个这个整体放倒B柱上。情况3执行到第4步的时候就相当于类比情况第二步把第1个放到C柱上。情况3中剩下的第567步相当于类比情况的第三步。

也就是说无论有多少个圆盘都可以像情况三中简化为总共三个步骤。

那么我们可以根据这观察三步列出一个数学公式，假设n个圆盘移动F(n)次。还是用情况3来举例子。那么第一步把第1个和第2个这个整体放倒B柱上需要移动F(3-1)次，第二步把第1个放到C柱上，因为只有一个也只移动1次，第三步把第1个和第2个这个整体放到C柱上需要移动F(3

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