矩阵快速幂求解斐波那契系列问题

矩阵快速幂求解斐波那契问题

问题

​ 求解斐波那契数列第$N$项

分析

​ 对于求第$N$项的值，可通过矩阵快速幂将时间复杂度降至$O(logN)$。递归式$F(N)=F(N-1)+F(N-2)$,是一个二阶的递推数列，可用矩阵乘法表示，且状态矩阵为$2\times 2$的矩阵：
$$(F(n),F(n-1))=(F(n-1),F(n-2))\times \left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|$$
把前4项代入，$F(1)==1,F(2)==1,F(3)==2,F(4)==3$,可求出状态转移矩阵：
$$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right|$$
当$n>2$时，
$$\begin{gathered} (F(3),F(2))=(F(2),F(1))\times \left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right|=(1,1)\times \left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right| \\ (F(4),F(3))=(F(3),F(2))\times \left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right|=(1,1)\times {\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right|}^2 \\ ⋮ \\ (F(n),F(n-1))=(F(n-1),F(n-2))\times \left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right|=(1,1)\times {\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right|}^{n-2} \end{gathered}$$
​ 所以，求解原问题转变为如何求解矩阵的$N$次幂，这就可以利用矩阵快速幂，时间复杂度为$O(logN)$。矩阵快速幂与普通快速幂并无本质区别，只是把普通乘法换成了矩阵乘法。下面举个例子说明普通快速幂如何快速计算。

​ 假设求解10的75次方：

​ 1.75的二进制数形式为1001011。

​ 2.10的75次方为$10^{64}\times 10^8\times 10^2\times 10^1$。

​ 我们先求出$10^1$，然后根据$10^1$求出$10^2$，再根据$10^2$求出$10^4$，$......$，最后根据$10^{32}$求出$10^{64}$。也就是说，75二进制表示有多少位，我们就做了多少次乘法。

代码

public int[][] matrixPower(int[][] m, int p){
    int[][] res = new int[m.length][m[0].length]; 
    //先把res初始化为单位矩阵
    for (int i = 0; i < res.length; i++){
        res[i][i] = 1;
    }
    int[][] tmp = m;
    for (; p != 0; p >>= 1){ //右移符号，相当于整除2
        if ((p&1) != 0){
            res = muliMatrix(res, tmp);
        }
        tmp = muliMatrix(tmp, tmp);
    }
    return res;
}

public int[][] muliMatrix(int[][] m1, int[][] m2){
    int[][] res = new int[m1.length][m2[0].length];
    for (int i = 0; i < m2[0].length; i++){
        for (int j = 0; j < m1.length; j++) {
            for (int k = 0; k < m2.length; k++){
                res[i][j] += m1[i][k] * m2[k][j];
            }
        }
    }
    return res;
}

使用矩阵快速幂求解斐波那契数列第$N$项的过程如下：

public int calc(int n){
    if (n < 1) {
        return 0;
    }
    if (n == 1 || n == 2){
        return 1;
    }
    int[][] base = {{1, 1} , {1, 0}};
    int[][] res = matrixPower(base, n - 2);
    return res[0][0] + res[1][0];
}

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总结

​ 如果递归式严格符合$F(n)=a\times F(n-1)+b\times F(n-2)+...+k\times F(n-i)$，那么它就是一个$i$阶的递推式，必然有与$i\times i$的状态矩阵有关的矩阵乘法的表达。一律可用矩阵快速幂将时间复杂度降至 $O(logN)$。