快速在数组中查找重复和遗失的元素

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快速在数组中查找重复和遗失的元素

问题

给定集合 $Z = \{ x_1, x_2, ..., x_n \}$ 。集合内包含 $n$ 个元素，每个元素都是数字。对于另一个集合 $A$ ，它缺失了 $Z$ 中的一个元素，并重复了一个元素。

希望设计一个算法，找出重复和缺失的元素。空间复杂度 $O (1)$ ，时间复杂度 $O (n)$ 。

分析

本题有两种解法，一个用到了数学公式求解，一个是异或运算求解。为描述方便，我们假设重复的元素为 $x_i$ ，缺失的元素为 $x_j$ 。其中 $\leq i \leq n, 1 \leq j \leq n$ 。

解法1

思路

把 $Z$ 中的元素求和，记为 $sum_z$ 。把 $A$ 中的元素求和，记为 $sum_a$ 。把 $Z$ 中的元素平方求和，记为 $sum_z^2$ 。把 $A$ 中的元素平方求和，记为 $sum_a^2$ 。

$S_1 = sum_z - sum_a = x_j - x_i \\ S_2 = sum_z^2 -sum_a^2 = x_j^2 - x_i^2\\$

我们有 $S3=S2S1=xj+xiS_3 = \frac{S_2}{S_1} = x_j + x_i$ 。所以 $xj=S3+S12x_j = \frac{S_3 + S_1}{2}$ , $xi=S3−S12x_i = \frac{S_3 - S_1}{2}$ 。

代码

public class FindDuplicateAndMissingElements{
    private int[] Z;
    private int[] A;
    private int missingElement = 0;
    private int duplicateElement = 0;
    
    public FindDuplicateAndMissingElements(int[] Z, int[] A){
        this.Z = Z;
        this.A = A;
    }
    
    private void findElements(){
        int sumZ = 0, sumA = 0;
        int sumZ2 = 0, sumA2 = 0;
        for (int i = 0; i < Z.length; i++) {
            sumZ += Z[i];
            sumA += A[i];
            sumZ2 += Z[i] * Z[i];
            sumA2 += A[i] * A[i];
        }
        int s1 = sumZ - sumA;
        int s2 = sumZ2 - sumA2;
        int s3 = s2 / s1;
        
        missingElement = (s1 + s2) / 2;
        duplicateElement = (s2 - s1) / 2;
    }
    
    public int getMissingElement() {
        return missingElement;
    }
    
    public int getDuplicateElement() {
        return duplicateElement;
    }
}

解法2

思路

把集合 $A$ 中所有元素异或，得到 $xor_A$ 。把集合 $Z$ 中所有元素异或，得到 $xor_Z$ 。那么记 $xor_A \bigoplus xor_Z = x_i \bigoplus x_j$ 。

因为 $x_i$ 与 $x_j$ 是两个不同的元素，它们异或结果一定不为零。那么转化为二进制的话，一定在某一位上为1。遍历集合 $Z$ ,把集合内所有在这一位上都为1的元素拿出来，组成新的集合 $C = \{ x_{i1}, x_{i2}, ..., x_{im} \}$ 。对集合 $A$ 做一样的操作，把所有在这一位上都为1的元素拿出来，组成新的集合 $D = \{ x_{t1}, x_{t2}, ... , x_{tm} \}$ 。把 $C$ 的所有元素求得异或和，记为 $xor_C$ 。把 $D$ 的所有元素求得异或和，记为 $xor_D$ 。记 $xor_C \bigoplus xor_D$ , $\bigoplus x$ 。

遍历一遍集合 $A$ ，假如 $x$ 出现在集合 $A$ ，那么 $x$ 是重复的元素， $y$ 是缺失的元素。假如 $y$ 出现在集合 $A$ ，那么 $y$ 是重复的元素， $x$ 是缺失的元素。

代码

public class FindDuplicateAndMissingElements{
    private int[] Z;
    private int[] A;
    private int missingElement = 0;
    private int duplicateElement = 0;
    
    public FindDuplicateAndMissingElements(int[] Z, int[] A){
        this.Z = Z;
        this.A = A;
    }
    
    private void findElements(){
        int xorZ = 0, xorA = 0;
        for (int i = 0; i < Z.lenght; i++){
            xorA = xorA ^ A[i];
            xorZ = xorZ ^ Z[i];
        }
        int tmp = xorA ^ xorZ;
        int mark = 1;
        int i = 0;
        while (true){
            mark = mark << i;
            if ((tmp) & mark != 0) {
                break;
            }
            i++;
        }
        
        xorA = 0;
        xorZ = 0;
       
        
        for (int i = 0; i < Z.length; i++) {
            if ((A[i] & mark) != 0) {
                xorA = xorA ^ A[i];
            }
            if ((Z[i] & mark) != 0) {
                xorZ = xorZ ^ Z[i];
            }
        }
        
        int x = xorA ^ xorZ;
        int y = tmp ^ x;
        
        boolean flag = false;
        for (int i = 0; i < Z.length; i++) {
            if (A[i] == x) {
                duplicateElement = x;
                missingElement = y;
                flag = true;
                break;
            }
        }
        if (flag == false) {
            duplicateElement = y;
            missingElement = x;
        }
    }
    
    public int getMissingElement() {
        return missingElement;
    }
    
    public int getDuplicateElement() {
        return duplicateElement;
    }
}