BZOJ3527: [Zjoi2014]力

最新推荐文章于 2019-05-24 00:23:00 发布

commonc

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分类专栏： BZOJ FFT/NTT 省选

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本文介绍了一种使用快速傅立叶变换（FFT）解决特定数学序列问题的方法。通过对原始问题进行转换，将其化为卷积形式，从而可以利用FFT高效地求解。文章详细展示了从问题定义到代码实现的全过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意： $F_{j}=\sum\limits_{i<j}\frac{q_{i}q_{j}}{(i-j)^2}-\sum\limits_{i>j}\frac{q_{i}q_{j}}{(i-j)^2}$
令 $E_{i}=F_{i}/q_{i}$ ,求出所有的 $E_{i}$

首先可以把 $q_{j}$ 消掉，变成 $E_{j}=\sum\limits_{i<j}\frac{q_{i}}{(i-j)^2}-\sum\limits_{i>j}\frac{q_{i}}{(i-j)^2}$
我们可以想象 $F(x)=q_{x},G(x)=\frac{1}{x^2}$
这样前后两项就都可以化成卷积的形式，然后就可以直接FFT了

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define N 400010
using namespace std;
const double pi=acos(-1);
struct E{double s,x;};
E operator-(const E&x,const E&y){return (E){x.s-y.s,x.x-y.x};}
E operator+(const E&x,const E&y){return (E){x.s+y.s,x.x+y.x};}
E operator*(const E&x,const E&y){return (E){x.s*y.s-x.x*y.x,x.s*y.x+x.x*y.s};}
E omg[N];
void FFT(E *A,E *B,int s,int le,int t)
{
    if(le==1){B[s]=A[s];return;}
    int l=le/2,i;
    for(i=0;i<l;i++)
    B[s+i]=A[s+2*i],B[s+l+i]=A[s+2*i+1];
    FFT(B,A,s,l,t*2);
    FFT(B,A,s+l,l,t*2);
    for(i=0;i<l;i++)
    {
        B[s+i]=A[s+i]+omg[i*t]*A[s+i+l];
        B[s+l+i]=A[s+i]-omg[i*t]*A[s+i+l];
    }
}
E ffta[N],fftb[N],fftc[N];
void AFFT(double *A,double *B,double *C,int n)
{
    int i=1;
    while(i<n) i*=2;
    n=2*i;
    for(i=0;i<=n;i++)
    {
        ffta[i]=(E){A[i],0};
        fftb[i]=(E){B[i],0};
        omg[i]=(E){cos(pi*2*i/n),sin(pi*2*i/n)};
    }
    FFT(ffta,fftc,0,n,1);
    FFT(fftb,ffta,0,n,1);
    for(i=0;i<n;i++)
    fftb[i]=ffta[i]*fftc[i];
    for(i=0;i<=n;i++)
    omg[i]=(E){cos(-pi*2*i/n),sin(-pi*2*i/n)};
    FFT(fftb,fftc,0,n,1);
    for(i=0;i<n;i++)
    C[i]=fftc[i].s/n;
}
double q[N],s1[N],s2[N],g[N];
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    int i,j;
    for(i=0;i<n;i++)
    scanf("%lf",&q[i]);
    for(i=1;i<n;i++)
    g[i]=1.0/i/i;
    AFFT(q,g,s1,n);
    for(i=0;i<n/2;i++)
    swap(q[i],q[n-1-i]);
    AFFT(q,g,s2,n);
    for(i=0;i<n;i++)
    printf("%.8lf\n",s1[i]-s2[n-1-i]);
}