主定理（简化版）

主定理（Master Theorem）是用于分析递归算法时间复杂度的一个重要工具。它适用于形式化定义的一类递归关系，通常采用分治策略解决问题的情况。

假设我们有一个递归算法，它将问题分解成 $a$ 个子问题，每个子问题的规模是原问题的 $\frac{1}{b}$，解决每个子问题的代价是 $T(\frac{n}{b})$，而将子问题的解合并成原问题的解的代价是 $f(n)$。那么该递归算法的时间复杂度可以表示为：
$$T(n)=a\cdot T(\frac{n}{b})+f(n)$$
其中，$a\ge 1，b>1$ 是常数，$T(n)$ 是解决一个规模为 $n$ 的问题所需的工作量，$f(n)$ 是合并子问题的解的工作量。

主定理的三种情况：

1. $IF$ $f(n)=O(n^{lo{g}_b(a-\epsilon )})$，and $\epsilon >0$，Then $T(n)=\Theta (n^{lo{g}_b(a)})$
2. $IF$ $f(n)=\Theta (n^{lo{g}_b(a)}\cdot lo{g}^{k}n)$，and $k\ge 0$，Then $T(n)=\Theta (n^{lo{g}_b(a)}\cdot lo{g}^{k+1}n)$
3. $IF$ $f(n)=\Omega (n^{lo{g}_b(a+\epsilon )})$，and $\epsilon >0$，$a\cdot f(\frac{n}{b})\le c\cdot f(n)$ 对于某个常数 $c<1$ 和所有足够大的 $n$ 成立，Then $T(n)=\Theta (f(n))$

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情况一：

$$T(n)=4T(\frac{n}{2})+n$$

其中 $a=4\ge 1，b=2>1，f(n)=n，lo{g}_{2}4=2>1$。

根据主定理的第一种情况：$f(n)=O(n^{lo{g}_b(a-\epsilon )})$

可得 $n=O(n^{lo{g}_{2}4-\epsilon })=O(n^2)$

$\therefore T(n)=\Theta (n^2)$

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情况二：

$$T(n)=4T(\frac{n}{2})+n^2$$

其中 $a=4\ge 1，b=2>1，f(n)=n^2，lo{g}_{2}4=2$。

根据主定理的第二种情况：$f(n)=O(n^{lo{g}_b(a)}lo{g}^{k}n)$

可得 $n^2=\Theta (n^{lo{g}_{2}4}lo{g}^{0}n)=\Theta (n^2)$

$\therefore T(n)=\Theta (n^{2}logn)$

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情况三：

$$T(n)=2T(\frac{n}{2})+n^2$$

其中 $a=2\ge 1，b=2>1，f(n)=n^2，lo{g}_{2}2=1<2$。

根据主定理的第三种情况：$f(n)=\Omega (n^{lo{g}_b(a)+\epsilon })$

可得 $n^2=\Omega (n^{lo{g}_{2}2+\epsilon })=\Omega (n^{1+\epsilon })$

但我们还需要检查是否满足 $a\cdot f(\frac{n}{b})\le c\cdot f(n)$ 的条件：

$$\begin{gathered} 2\cdot (n/2{)}^2\le c\cdot n^2 \\ {n}^2/2\le c\cdot n^2 \\ 1/2\le c \end{gathered}$$

对于任何小于 1/2 的常数 $c$，上述不等式都成立

$\therefore T(n)=\Theta (n^2)$

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