LeetCode（4）Median of Two Sorted Arrays

题意：给定两个已排序的数组，找出合起来的中位数。

难度：hard

思路：参考

https://discuss.leetcode.com/topic/4996/share-my-o-log-min-m-n-solution-with-explanation

将中位数理解为把一个集合分成两个长度相等（或相差1）的子集，并且一个子集的所有元素都不大于另一个子集。

现在要做的是把A、B数组划分成相同的两部分left和right，使得：

（1）left和right的元素个数相等（当m+n为偶数），或者left元素个数比right多1（当m+n）为奇数。

（2）left的元素不大于right的元素。

如果能找到这样的划分，中位数就是left中的最大值和right中的最小值其中的一个。

找到这个划分的方法：

假设把A中的前i个元素划分到left集合，由于left元素个数占（m+n）的一半，所以相应地，B的前（ (m+n+1)/2-i ）个元素被划分到left集合。right集合就是A、B剩下的元素。这样left和right都确定了，然后需要判断这样的划分方法能不能满足上面的要求（2），如果满足就是我们需要的集合。

所以问题就变成了查找这个i值，可以用二分查找法。设j=(m+n+1)/2-i ，问题转化为判断由A的前i个元素和B的前j个元素是否不大于A和B剩下的元素。因为A和B都是有序的，只需要判断A[i]和B[j-1]、A[i-1]和B[j]这两组数的大小。如果A[i]<B[j-1]，说明i太小了。如果B[j]<A[i-1],说明i太大了。否则就说明i是正确的i。

复杂度：使用了二分查找，粗略计算算法的复杂度是O（log（m+n））。但是由于二分查找的区间是[ max(0,(m+n+1)/2-n), min(m,(m+n+1)/2) ]，所以复杂度是O（log（min（n+m））。查找区间不是[0,m+n]是因为要考虑划分时最多把A的m个元素或者B的n个元素划分到left集合。

代码：

class Solution {
public:
    double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        int m=nums1.size(),n=nums2.size();
        int low=max(0,(m+n+1)/2-n),high=min(m,(m+n+1)/2);
        int i,j;
        while(low<=high)
        {
            i=(low+high)/2;
            j=(m+n+1)/2-i;
            if((i!=m&&j!=0)&&nums2[j-1]>nums1[i])
            {
                low=i+1;
                
            }
            else if((j!=n&&i!=0)&&nums1[i-1]>nums2[j])
            {
                high=i-1;
            }
            else
            {
                break;
            }
        }
        int left,right;
        if(i==0) left=nums2[j-1];
        else if(j==0) left=nums1[i-1];
        else left=max(nums1[i-1],nums2[j-1]);
        if(i==m&&j==n) right=0;
        else if(i==m) right=nums2[j];
        else if(j==n) right=nums1[i];
        else right=min(nums1[i],nums2[j]);
        if((m+n)%2) return left;
        else return (left+right)/2.0;
    }
};