Number Sequence (正解：矩阵快速幂)

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原创最新推荐文章于 2026-06-09 16:21:32 发布 3.9k 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

FDS作业记录 · 复杂度分析 P2：同理，T(N) = 3T(N/3) + 1 = 9T(N/9) + 1 + 3 = ... ... = 3^k * T(1) + 1 + 3 + ... ... + 3^(k-1).令3^k = N，得k = log N( 以3为底 )，故3^k = N，3^(k-1) = N/3，故P2的时间复杂度为N。令3^k = N，得k = log N( 以3为底 )，故P1的时间复杂度为O(logN)；因为x是由0不断加1得到的，故时间复杂度即为O(n^(1/2))，选B。说实话我还没法一眼看出来…… 阅读详情

Number Sequence

 A number sequence is defined as follows:

f(1) = 1, f(2) = 1, f(n) = (A * f(n - 1) + B * f(n - 2)) mod 7.

Given A, B, and n, you are to calculate the value of f(n).

Input
The input consists of multiple test cases. Each test case contains 3 integers A, B and n on a single line (1 <= A, B <= 1000, 1 <= n <= 100,000,000). Three zeros signal the end of input and this test case is not to be processed.
Output
For each test case, print the value of f(n) on a single line.
Sample Input

1 1 3
1 2 10
0 0 0

Sample Output

2
5

题意：

题意很简单就是给你一个数n，让你求F(n)

分析：

网上有很多博客上写找规律，找循环节，但是当你们问他为什么这个周期是这些，却很难回答。如果它真的具有规律并具有固定周期，一定可以通过某种方法证明，只不过我们不会，但对于这个题目应该是没法证明的，看hduoj的discuss中就给了下面几组测试数据：
input
247 602 35363857
376 392 9671521
759 623 18545473
53 399 46626337
316 880 10470347
0 0 0
output
4
3
5
2
3
这几组测试数据如果是通过所谓规律AC的代码，有几个实际上是不对的

因此考虑到斐波那契数列的性质，这个题和斐波那契数列很类似，发现我们应该使用矩阵快速幂来做，矩阵很小，模板直接写。

(f (3) f (2)) = (a 1 b 0) (f (2) f (1)) (161)

$\begin{equation} \begin{array}{c c} \left( \begin{array}{ccc} f(3) \\ f(2) \\ \end{array} \right) & = \left( \begin{array}{ccc} a & b \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right) & \left( \begin{array}{ccc} f(2)\\ f(1) \\ \end{array} \right) \end{array} \end{equation}$

f(3)=a+bf(3)=a+b $f(3) = a + b$

(f (n) f (n - 1)) = (a 1 b 0) n - 2 (f (2) f (1)) (162)

$\begin{equation} \begin{array}{c c} \left( \begin{array}{ccc} f(n) \\ f(n-1) \\ \end{array} \right) & = \left( \begin{array}{ccc} a & b \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right)^{n-2} & \left( \begin{array}{ccc} f(2)\\ f(1) \\ \end{array} \right) \end{array} \end{equation}$
设

A=(a1b0)n−2A=(ab10)n−2 $A = \left( \begin{array}{ccc} a & b \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right)^{n-2}$
那么

ans=(A[0][0]+A[0][1])%7ans=(A[0][0]+A[0][1])%7 $ans = (A[0][0] + A[0][1]) \% 7$

但是我做这题的时候就掉进了一个坑，我的结构体写了构造函数，导致快速幂每次调用乘法的时候都会调用构造函数，导致超时。。。这回真的是记住了

code：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
struct Matrix{
    int m[2][2];
};
Matrix mul(Matrix a,Matrix b){
    Matrix ans;
    for(int i = 0; i < 2; i++){
        for(int j = 0; j < 2; j++){     
            ans.m[i][j] = 0;
            for(int k = 0; k < 2; k++){
                ans.m[i][j] = (ans.m[i][j] + a.m[i][k] * b.m[k][j] % 7) % 7;
            }

        }
    }
    return ans;
}
int main(){
    int A,B,n;
    while(scanf("%d%d%d",&A,&B,&n) != EOF){
        if(A == 0 && B == 0 && n == 0) break;
        if(n <= 2){
            printf("1\n");
            continue;
        }
        Matrix a,ans;
        a.m[0][0] = A;
        a.m[0][1] = B;
        a.m[1][0] = 1;
        a.m[1][1] = 0;
        ans.m[0][0] = ans.m[1][1] = 1;
        ans.m[0][1] = ans.m[1][0] = 0;
        n -= 2;
        while(n){
            if(n & 1)
                ans = mul(ans,a);
            n >>= 1;
            a = mul(a,a);
        }
        printf("%d\n",(ans.m[0][0] + ans.m[0][1]) % 7);
    }
    return 0;
}