计蒜客-划分整数（dp）

划分整数

蒜头君特别喜欢数学。今天，蒜头君突发奇想：如果想要把一个正整数 $n$ 分解成不多于 $k$ 个正整数相加的形式，那么一共有多少种分解的方式呢？

蒜头君觉得这个问题实在是太难了，于是他想让你帮帮忙。

输入格式

共一行，包含两个整数 $n(1\le n\le 300)$ 和 $k(1\le k\le 300)$，含义如题意所示。

输出格式

一个数字，代表所求的方案数。

样例输入

5 3

样例输出

5

可设dp[n][k]表示将正整数n分解为不多于k个正整数相加的形式的方案数。根据题意，应分以下4种情况讨论：

        1°n=1 或 k=1：n=1时只有"1=1"这1种分解方案；k=1时只有"n=n"这1种分解方案，故方案数=1；

        2°n<k：相当于dp[n][k]，因正整数n不可能分解为超过n个正整数相加的形式；

        3°n>k：根据"是否将n恰好分解为k个正整数相加的形式"（上界），进行讨论：

              1°°将n恰好分解为k个正整数相加的形式：此时分解出的每个正整数t都满足t>=1，故相当于将分解出的k个数"都减去1"，即相当于dp[n-k][k]，也就是将正整数n-k分解为不多于k个正整数相加的形式的方案数；

              2°°将n分解为小于k个正整数相加的形式：此时即dp[n][k-1]，也就是将正整数n分解为不多于k-1个正整数相加的形式的方案数；

              故方案数=dp[n-k][k]+dp[n][k-1];

        4°n=k：总体与3°相同，但将n恰好分解为k个正整数相加的形式时，只有"n=n/k+n/k+...+n/k"这1种分解方案，故方案数=1+dp[n][k-1]。

        综上，可得以下结论：

code：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll dp[310][310];
ll N,k;
int main(){
    ll i,j;
    cin >> N >> k;
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(i = 1; i <= N; i++){
        for(j = 1; j <= k; j++){
            if(i == 1 || j == 1)
                dp[i][j] = 1;
            else if(i < j)
                dp[i][j] = dp[i][i];
            else if(i > j)
                dp[i][j] = dp[i-j][j] + dp[i][j-1];
            else
                dp[i][j] = 1 + dp[i][j-1];
        }
    }
    cout << dp[N][k] << endl;
    return 0;
}